1.2  IL TEOREMA DI ROLLE

 

TEOREMA DI ROLLE Michel Rolle, francese, 1652-1719   Ipotesi     Tesi

 

Giustificazione con l’intuizione geometrica

 

La curva grafico della funzione, partendo dal punto ,

si snoda con continuità, senza interruzioni, fino ad approdare nel punto .

Ma A e B hanno la stessa ordinata (infatti per ipotesi è  );

quindi, se il grafico parte da A  in salita (o, rispettivamente, in discesa),

per poter giungere a B, che si trova alla stessa “altezza” di A,

dovrà prima o poi ridiscendere (risalire)

e nel cambiare la “direzione di marcia” sarà obbligato a toccare un massimo (minimo),

nel quale la retta tangente sarà orizzontale e quindi la derivata sarà nulla.

 

Dimostrazione rigorosa

 

Sia  f  continua su [a, b], derivabile per lo meno su (a, b), e tale che .

Per il teorema di Weierstrass,  f  ammette, su [a, b], minimo assoluto m e massimo assoluto M.

 

q        Se è m = M, allora  f  è costante su tutto [a, b], quindi   per ogni x di [a, b] e la tesi è vera.

 

q        Se è m ≠ M, allora almeno uno dei due valori m, M deve essere distinto dal valore ;

quindi, dovrà essere assunto dalla  f  in corrispondenza di un'ascissa c diversa sia da a che da b  (a<c<b).

 

Dico ora che  .

 

Supponiamo, per meglio fissare le idee, che c sia il punto di MINIMO assoluto:

, ossia:   (analogo sarebbe il ragionamento nel caso  )

·         Se costruiamo il rapporto incrementale DESTRO in c, avremo:    

  perché, su tutto [a, b], è  quindi  ,

                                      e inoltre, essendo x alla destra di c (  ), sarà pure .

 

·         Se invece costruiamo il rapporto incrementale SINISTRO in c, avremo: 

  perché, su tutto [a, b], è  quindi  ,

                                      ma, essendo questa volta x alla sinistra di c (  ), sarà .

 

Ora l’ipotesi ci dice che  f  è derivabile su tutto (a, b) quindi anche in c;

pertanto i due rapporti incrementali destro e sinistro in c dovranno tendere allo stesso limite

( la derivata  ) quando si fa tendere x a c: 

 

Essendo, come abbiamo visto,    e   ,

dovrà necessariamente essere       e   

 

Ora, tali due limiti, in considerazione dei loro segni, possono essere uguali soltanto se entrambi nulli.

Con ciò resta provato che  ,  cioè la tesi.

ESERCIZI sul teorema di Rolle (risposte alla fine)

 

1)   Considera la funzione    sull’intervallo [0,1].   a)      Dopo aver controllato che esistono le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa  c di cui il teorema assicura l’esistenza.   b)      Traccia infine il “grafico probabile” della funzione (su tutto il suo dominio  ), tenendo anche conto dei punti in cui hai stabilito che la derivata si annulla (in questi punti la retta tangente dovrà essere orizzontale!).

2)   Considera la funzione  sull’intervallo [-1, 1]   a)      Dopo aver controllato che esistono (appena appena!) le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza.   b)      Grafico probabile.

3)   Considera la funzione     sull’intervallo [-3, 3]   a)      Dopo aver controllato che sussistono le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza.   b)      Grafico probabile della funzione (su tutto il suo dominio  ).

4)   Spiega perché Rolle non è applicabile alla funzione   su  [-1; 1]

5)   Determina il valore del parametro k in modo che alla funzione  sia applicabile Rolle su [2;4] a)      Determina poi l’ascissa c in (2,4) tale che   b)      Spiega perché non avrebbe avuto senso, per nessun valore di k, applicare Rolle su [0;2]   c)      Grafico probabile (su tutto il dominio).

6)   a)   Applica Rolle alla funzione , su verificando che di punti c tali che  ce n’è più d’uno.   b)      Traccia il grafico probabile della funzione su , costruendolo per differenza di ordinate.

7)   Considera la funzione a)      Determina il secondo estremo di un intervallo, il cui primo estremo sia 1, sul quale sia possibile applicare alla  f (x) il teorema di Rolle.   b)      Successivamente, determina in tale intervallo l’ascissa c in cui .   c)      Grafico probabile della funzione (su tutto il dominio).

 

Risposte

 

1)  

 

2)   ;  dico che le condizioni per l’applicabilità del Teorema di Rolle sussistono “appena appena”

                                 perché la funzione non è derivabile agli estremi dell’intervallo.

   

3)   Ben 3 possibili valori di  c: 

 

4)   Rolle non è applicabile in questo caso, perché la funzione non è derivabile su tutto :

      infatti ha derivata sinistra e destra distinte (“punto angoloso”) in .

 

5)   a)       b)

c)  perché la funzione non è definita su tutto [0;2]:      il dominio si interrompe in , e .

 

6)  

7)   L’altro estremo è  4;