STUDIO DI FUNZIONE

 

2) LE BASI TEORICHE DELLO STUDIO DI FUNZIONE

 

2.1   SIMBOLOGIA ADOTTATA

 

 

q       Il dominio di una data funzione  verrà indicato con .

 

q       Il simbolo  verrà utilizzato per indicare un intervallo, mentre il simbolo  indicherà

       un intorno, non necessariamente circolare, del punto x (ossia: un intervallo aperto contenente x).

2.2   FUNZIONI CRESCENTI O DECRESCENTI:

       I) IN UN INSIEME   II) NELL’INTORNO DI UN PUNTO   III) IN UN PUNTO

 

Occhio, perché si tratta di TRE DEFINIZIONI BEN DISTINTE !

 

 

 

 

Naturalmente, apportando ovvie modifiche alle definizioni precedenti si otterranno le definizioni di

“funzione decrescente in E”, "funzione decrescente in un intorno di x0", "funzione decrescente in x0":

 

 

 

 

 

E’importante riconoscere che:

 

se f è crescente IN UN INTORNO DI x0, evidentemente lo è anche IN x0;

ma non vale necessariamente il viceversa!

 

(discorso analogo vale sostituendo l’aggettivo “crescente” con “decrescente”)

 

 

Ad esempio, considera la figura 1a qui a fianco,

dove è rappresentata la funzione

.

 

La funzione  f  è crescente NELL' origine,

ma non IN UN INTORNO DELL’ origine.

 

Fig. 1a

 

 

Anche la funzione della figura 1b qui riportata, che è poi la

è crescente NELL' origine (Nota 1)

ma non IN UN INTORNO DELL’ origine (Nota 2).

Nota 1.

E’ facile dimostrare che esiste un intorno dell’ascissa x0=0 nel quale:

quando x<0, è g(x)<0=g(0);  quando x>0, è g(x)>0=g(0)

 

Nota 2.

Questo fatto si può dimostrare utilizzando la “pendenza”della curva,
ossia andando a calcolare la derivata  g ’ (x)
e analizzandone il segno.

 

 

 

 

Fig. 1b

 

 

 

Quindi la situazione in cui  f  è crescente (risp. decrescente) IN un punto

è più generale di quella in cui f è crescente (risp. decrescente) IN UN INTORNO DI .

 

Attenzione però, nel consultare i libri di testo:

alcuni Autori, quando scrivono "f crescente (decrescente) in x0", danno a questa locuzione il significato

che noi abbiamo assegnato invece alla locuzione “f crescente (decrescente) in un intorno di x0”.

D’altronde, sai bene che, quando si utilizza un testo, è sempre indispensabile tenere ben presenti

le definizioni e convenzioni che QUEL testo pone e la simbologia che QUEL testo adotta.

 

 

q       Teorema 1

 Se I è un intervallo, allora:

 f  crescente in I    f  crescente nell’intorno di ogni punto di I    f  crescente in ogni punto di I

 f  decrescente in I   f  decresc. nell’intorno di ogni punto di I    f  decresc. in ogni punto di I

 

 

Osservazione 1 (il discorso dei “gemelli”)

Abbiamo qui due proposizioni “gemelle” (scritte ciascuna su di una riga).

Noi, nelle osservazioni seguenti e nella dimostrazione, faremo riferimento soltanto alla prima delle due,

in quanto il discorso riguardo all’altra si ridurrebbe ad una banale ed ovvia lieve modifica di cose già dette.

Analogamente ci regoleremo per altre coppie di proposizioni o definizioni “gemelle” che incontreremo in seguito.

 

Osservazione 2

Si tratta, in realtà, di tre biimplicazioni (è pur vero che, una volta dimostrate due qualsiasi di esse,

la terza ne discenderebbe subito come conseguenza) quindi di tre teoremi riuniti in un unico enunciato.

 

Osservazione 3

Le implicazioni da sinistra a destra si dimostrano immediatamente; assai più problematico è invece dimostrare

quelle da destra verso sinistra… la verità di tali implicazioni viene subito colta come intuitivamente evidente,

ma se tenta di organizzare un ragionamento dimostrativo rigoroso, ci si troverà di fronte a difficoltà molto serie.

 

Osservazione 4

Abbiamo già discusso in modo approfondito nella parte 1 (dedicata ai “teoremi preliminari”) il fatto che

l’esigenza di una dimostrazione rigorosa permanga,

anche di fronte a quegli enunciati che sembrano intuitivamente condivisibili.

 

Osservazione 5

La biimplicazione  “f crescente nell’intorno di ogni punto di I   f crescente in ogni punto di I”  ci dice che,

 

mentre le due condizioni

II)  f crescente NELL’INTORNO DI un punto x0

III) f crescente IN un punto x0

 

quando riferite AD UN SINGOLO punto, NON SONO equivalenti,

perché II)  implica III) ma non viceversa,

 

esse DIVENTANO equivalenti quando le si suppone verificate PER TUTTI i punti di un INTERVALLO

 

Osservazione 6 (sulla dimostrazione dell’enunciato)

Una dimostrazione corretta del Teorema 1

(o meglio, come abbiamo rimarcato, delle implicazioni da destra a sinistra, in quanto quelle da sinistra a destra

 si provano immediatamente) dipende in sostanza da considerazioni di carattere topologico.

Si tratta essenzialmente di utilizzare il cosiddetto "Lemma di Borel",

la cui trattazione ci porterebbe però ad un livello un po’ troppo avanzato per i limiti di questo corso.

 

Siamo costretti perciò a omettere la dimostrazione del Teorema.

 

Passiamo ora ad una nuova Definizione.

 

 

Una funzione si dice "crescente in senso lato", o anche "non decrescente", in un insieme  se

 

Analogamente si potrà parlare, adattando definizioni già date,

di funzione “crescente in senso lato”(o “non decrescente”), “in un intorno di un punto x0”, o “in un punto x0”.

 

E’ del tutto ovvio poi il passaggio alle definizioni “gemelle” riguardanti una funzione

“decrescente in senso lato”, o “non crescente”, in un insieme E, nell’intorno di un punto x0, o in un punto x0.

 

 

Se scriveremo "crescente" (o “decrescente”), senza aggiungere altro, vorrà sempre dire “in senso stretto".

 

 

 

 

2.3  IL SEGNO DELLA DERIVATA E L’INCLINAZIONE DEL GRAFICO

 

 

q       Teorema 2

Se  f  è derivabile in x0  ed è  ,  allora  f  è crescente in x0.

Se  f  è derivabile in x0  ed è  ,  allora  f  è decrescente in x0.

 

 

Giustificazione intuitiva del Teorema 2

 

Dal punto di vista geometrico intuitivo,

appare subito plausibile che il teorema sia vero

perché la condizione

significa che la retta tangente nel punto di ascissa x0

ha coefficiente angolare positivo e quindi è "in salita".

Si capisce allora che dovrà essere “in salita”

anche il grafico della funzione quando si passa

dalla sinistra alla destra dell'ascissa x0 (vedi fig. 2 qui a fianco).

 

 

Dimostrazione

(come già dichiarato nell’ Osservaz. 1 al Teor. 1, farò riferimento solo alla prima delle due proposizioni “gemelle”.

 E’ del tutto evidente il fatto che il discorso relativo alla seconda,

 altro non sarebbe che una noiosa ripetizione - con ovvie modifiche - di quanto già detto).

 

Sia .  Per definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, avremo:

 

Per il Teorema della Permanenza del Segno, esiste dunque un intorno di x0 tale che,

per ogni x di quell'intorno (eccettuato x = x0) si abbia

Ma se la frazione    è positiva, allora

 

La tesi è così dimostrata.

 

 

q       Teorema 3

Se f è derivabile in x0 ed è crescente in x0, allora

Se f è derivabile in x0 ed è decrescente in x0, allora

 

 

Dimostrazione

Se f  è derivabile in x0 ed è crescente in x0, non può essere  f  ' (x0) < 0,

altrimenti, per il teorema 2,  f  sarebbe decrescente in x0.

 

 

 Osservazione

 

 Sotto l'ipotesi che  f  sia crescente in x0,

 la tesi è dunque , NON  .

 

Infatti, ad esempio,

la funzione

è crescente nell'origine,

ma la derivata nell’origine non è strettamente positiva:

è invece nulla

(fig. 3 qui a fianco)

 

 

 

 

 

 

 

Teorema 4

Se  f  è derivabile in un interv. I e, per ogni , si ha  , allora  f  è crescente in I

Se  f  è derivabile in un interv. I e, per ogni , si ha  , allora  f  è decrescente in I

 

 

Dimostrazione

Conseguenza del teorema 2 e del teorema 1.

 

Osservazione 1

Il Teorema 4  è valido per qualsiasi intervallo, sia esso limitato, illimitato, aperto, chiuso o semiaperto.

Nel caso in cui un estremo dell’intervallo sia incluso nell’intervallo stesso,

la derivata corrispondente va intesa come unilaterale.

 

 

Osservazione 2 (IMPORTANTE: riguarda la particolare impostazione da noi scelta)

 

La maggior parte dei libri di testo fa a meno della definizione da noi stabilita di

“funzione crescente (decrescente) IN un punto”,

perché assegna a questa locuzione il significato che noi abbiamo invece riservato alla locuzione

“f crescente (decrescente) NELL’INTORNO DI un punto” (cfr. NOTA a piè pagina ).

 

Ciò comporta, per questi testi, il “vantaggio” di evitare il ricorso al nostro Teorema 1,

che dipende da considerazioni topologiche superiori (come il Lemma di Borel),

ma anche l’inconveniente di dover rinunciare in linea di massima ad enunciati di carattere “locale” 

(come il nostro Teorema 2) e di doverli forzatamente sostituire con enunciati

che impegnano il comportamento della funzione su interi intervalli,

con un inevitabile rafforzamento (e quindi appesantimento e minore generalità) delle ipotesi.

Anche i procedimenti dimostrativi ne risultano in più di un caso appesantiti.

 

Ad esempio il teorema 4 verrebbe dimostrato da questi testi ricorrendo al teorema di Lagrange:

vedi quanto scritto qui di seguito.

 

 

Dimostrazione del Teorema 4 così come è proposta della maggior parte dei testi.

 

Supponiamo che f sia derivabile in un intervallo  e che, per ogni , si abbia  .

Vogliamo dimostrare che, sotto questa ipotesi, f è crescente in .

Siano  dunque . Ci proponiamo di far vedere che è .

 

E’ possibile applicare Lagrange all’intervallo [x1, x2]

(infatti f è derivabile su tutto  quindi in particolare è derivabile e continua su [x1, x2] )

 ottenendo

dove  indica un opportuno punto compreso fra x1 e x2.

L’ipotesi che   sia  >0  su tutto  ci assicura che   e da ciò si trae che

 

da cui  

.

 

Ricapitolando, abbiamo visto che, presi due generici punti x1, x2  di ,

.

 

Ciò prova che f è crescente in , c.v.d.

 

NOTA. - Invece la definizione di “funzione crescente” (decrescente) IN UN INSIEME

     che si ritrova in tutti i testi è sempre identica alla nostra.