Un "asintoto", per una funzione , è una retta alla quale il grafico della funzione

"si avvicina indefinitamente", "si avvicina di tanto quanto noi vogliamo",

nel senso precisato dalle tre definizioni che seguono.

La retta verticale x = x₀ è

"asintoto verticale"

per la funzione 

se e solo se

la  f  tende all’infinito quando x tende a x₀,

ossia

Nella figura, è rappresentata la funzione

coi suoi due asintoti verticali:

le rette x = -2  e  x = 2

fig. 20a

Può accadere che sia infinito

solo il limite sinistro,

o solo il limite destro,

nel qual caso si parla di

“asintoto verticale sinistro”

o “destro”, rispettivamente.

Nella figura è rappresentata la funzione

per la quale la retta x = 0 è

asintoto verticale unilaterale

(precisamente: destro) in quanto

fig. 20b

INDICAZIONI PER LA RICERCA DEGLI ASINTOTI VERTICALI

Andiamo a considerare (se ve ne sono) le ascisse che costituiscono "interruzioni" del dominio,

o (caso poco frequente) le ascisse nelle quali la funzione, pur essendo definita, presenta una discontinuità.

Calcoliamo quindi il limite della nostra funzione, al tendere di x a ciascuna di tali ascisse.

Quando il limite (bilaterale o unilaterale) è infinito, ecco che avremo individuato un asintoto verticale.

La retta orizzontale y = k  è

"asintoto orizzontale"

per la funzione 

se  tende a k

quando x tende all’infinito,

ossia

Nella figura, è rappresentata la funzione

col suo asintoto orizzontale “bilaterale” y = 1.

fig. 21

Si possono anche avere

asintoti orizzontali “unilaterali”.

Ad esempio, la funzione

rappresentata in figura 21b è

e poiché risulta

possiamo dire che per questa funzione

la retta  y = 0

fa da asintoto orizzontale ”destro”,

e la retta y = -2/3

fa da asintoto orizzontale “sinistro”.

fig. 21b

La figura 21c qui a fianco

mostra la funzione

che presenta soltanto

un asintoto orizzontale sinistro:

la retta y = 0.

fig. 21c

INDICAZIONI PER LA RICERCA DEGLI ASINTOTI ORIZZONTALI

Calcoliamo il limite della funzione data, per x che tende a   e per x che tende a

(ovviamente, ciò ha senso soltanto se il dominio della funzione

è illimitato verso sinistra, o, rispettivamente, verso destra).

Se il limite che si trova è finito, ecco individuato un asintoto orizzontale.

Se invece tale limite non esiste oppure è infinito, niente asintoto orizzontale;

tuttavia, in caso di limite infinito, potrà eventualmente esserci un asintoto obliquo.

La retta obliqua   è

“asintoto obliquo”

per la funzione

se e solo se la differenza

(ossia la differenza fra le ordinate dei due punti,

sul grafico della funzione e sulla retta,

aventi la stessa ascissa x),

tende a zero quando x tende all’infinito:

Un asintoto obliquo

può eventualmente anche essere “unilaterale”

( = soltanto “sinistro” o soltanto “destro”)

fig. 22a

Nella figura 22b è rappresentata la funzione

che ammette come asintoto obliquo (bilaterale)

la retta

Infatti

fig. 22b

INDICAZIONI PER LA RICERCA DEGLI ASINTOTI OBLIQUI

Innanzitutto, avrà senso ricercare un eventuale asintoto obliquo bilaterale/destro/sinistro per la funzione

soltanto se si è constatato che la funzione tende a infinito quando x tende a  

Dopodiché, si ricorre al seguente

Pertanto per la ricerca si procede come segue:

1.       si calcola il ;

se si trova che tale limite non esiste oppure è infinito oppure è nullo,

allora l’asintoto obliquo non c’è;

se invece tale limite è finito e diverso da zero, lo si indica con m …

2.       … e poi si va a calcolare il  ;

se si trova che tale limite non esiste oppure è infinito, allora l’asintoto obliquo non c’è;

se invece tale limite è finito, lo si indica con q …

3.       … e a questo punto resta stabilito che la retta    è asintoto obliquo per la .

ESEMPIO

Abbiamo  

per cui la f ammette come ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO la retta y = 1.

Invece      

per cui

.

Calcoliamo il 

e constatiamo che

.

Poiché

,

ha senso continuare.

Poniamo dunque

e calcoliamo il

Avendo trovato che

,

possiamo porre 

e affermare che la retta 

per la nostra funzione.

  Ed ecco il grafico!!!            Fig. 22c

OSSERVAZIONE 1

nell’esporre il Teorema 11 e le successive indicazioni per la ricerca degli asintoti obliqui,

abbiamo fatto tendere x a “infinito”;

se si pensa di far tendere invece x a “più infinito”

o, rispettivamente, “meno infinito”,

tutto il discorso rimane valido

e l’asintoto eventualmente trovato, invece di essere “bilaterale”, è soltanto “unilaterale”.

A dire il vero, abbiamo già dato tutto ciò per acquisito quando abbiamo svolto l’esempio precedente.

OSSERVAZIONE 2

OSSERVAZIONE 3

Per certe funzioni, accade che si verifichi la prima delle due condizioni a), b), ma non la seconda.

In questi casi, dunque, esiste finito e diverso da zero il  

ma non esiste, oppure è infinito, il

Si parla allora di una “direzione asintotica” m, senza che ci sia asintoto.

q      Esempio:

la funzione  ammette, per , la direzione asintotica , perché

ma non ammette asintoto obliquo, in quanto 

Dimostrazione del teorema 11

PRIMA PARTE

Facciamo vedere che se la retta   è asintoto obliquo per la f(x),allora risulta .

               I.    

            II.    

Supponiamo dunque che la retta   sia asintoto obliquo per la funzione .

Allora, per definizione di asintoto obliquo, si avrà

e dunque,  a maggior ragione,

da cui:

Ma da

si ricava appunto

.

Essendo poi

sarà anche

La dimostrazione di questa PRIMA PARTE è così completata.

SECONDA PARTE

Supponiamo che esistano finiti i due limiti

               I.    

            II.    

Vogliamo dimostrare che, considerata la retta  ,  risulta

e ciò significherà che la    fa da asintoto obliquo per la

In effetti, molto facilmente:

e con ciò la dimostrazione è davvero completata.