2.4  MASSIMI E MINIMI RELATIVI ED ASSOLUTI DI UNA FUNZIONE

 punto di massimo relativo per la funzione f(x) 

  punto di minimo relativo per la funzione f(x) 

quando si dice “punto di massimo (minimo) relativo” si intende parlare di un' ascissa,

mentre quando si dice “massimo (minimo) relativo” ci si riferisce ad un' ordinata.

 punto di massimo assoluto per la funzione  f(x) 

  punto di minimo assoluto  per la funzione  f(x) 

“punto di massimo (minimo) assoluto” denota un’ ascissa,

“massimo (minimo) assoluto” denota un’ ordinata.

Nella fig. 4 qui a fianco,

x₁ e x₃ sono punti di massimo relativo,

e x₃ è anche il punto di massimo assoluto.

I massimi relativi sono f(x₁) e f(x₃);

quest’ultima ordinata costituisce anche

il massimo assoluto.

I punti di minimo relativo sono x₂ e b;

i minimi relativi sono f(x₂) e f(b).

Non esiste un punto di minimo assoluto

per la funzione rappresentata in figura:

si ha soltanto un "estremo inferiore",

che è poi, con espressione grossolana,

“ l’ordinata del buco ”, ossia il

Nota, caro lettore,

che la funzione proposta come esempio qui sotto

non è definita con x =a, dove abbiamo un “buco”

o, in termini matematici più seri,

una “discontinuità di terza specie”

Fig. 4

Se x₀ è un punto di massimo relativo per la funzione , allora si dice che x₀ è “forte” (o "proprio")

se e solo se

ossia, se il simbolo  può essere sostituito dal simbolo   (con x diverso da x₀, ovviamente).

Può invece accadere (sebbene sia circostanza “rara”) che, pur essendo x₀ un punto di massimo relativo,

tuttavia in qualsiasi intorno di x₀ la funzione  ritorni ad assumere il valore ,

cosicché sarebbe sbagliato scrivere il simbolo di disuguaglianza stretta.

In tal caso si dice che x₀ è un punto di massimo relativo “debole” (o “improprio").

Evidentemente, si potrebbe formulare una definizione “gemella”

per stabilire quando un punto di minimo relativo possa essere detto “forte” o “debole”.

La fig. 5 qui a fianco

rappresenta la funzione

Il punto x₀=0 è di

minimo relativo debole.

Infatti, in ogni intorno

dell’ascissa x₀=0 la funzione

ritorna infinite volte ad assumere

l’ordinata f(0)=0.

Possiamo dire che

in un intorno di x₀ si ha sempre

,

ma  sarebbe sbagliato affermare

che esiste un intorno di x₀

nel quale, con , si ha

.

Fig. 5

Nella figura abbiamo voluto rappresentare

anche la parabola y=x²:

il grafico di f(x) è infatti stretto fra tale parabola e l’asse x.

q       Teorema 5 (di FERMAT)                                          Pierre de Fermat, francese, 1601-1665

f  sia definita su di un intervallo I e sia x₀ un punto di massimo o di minimo relativo

(brevemente: un estremante relativo), interno a tale intervallo

(l’ipotesi che sia interno è indispensabile).

Allora (se, beninteso, f  è derivabile in x₀), risulta

 Osservazione 1

E' essenziale specificare che

il punto di cui si parla

è supposto interno

all'intervallo di definizione della funzione:

altrimenti, la tesi in generale non vale.

Ad esempio, nella fig. 6 qui a fianco,

dove il dominio della funzione rappresentata

è l’intervallo chiuso [a,b],

il punto b è di massimo relativo,

eppure la derivata (sinistra) in b non è nulla.

Il teorema non è applicabile,

perché il punto b considerato non è interno

all’intervallo ma ne è invece un estremo.

Fig. 6

t è la retta tangente

nel punto .

Non è parallela all’asse x,

quindi il suo

coefficiente angolare

non è nullo.

Pertanto  non è nulla, nonostante  sia punto di massimo relativo.

Ma  NON è punto INTERNO all’intervallo di estremi .

 Osservazione 2

La condizione   è necessaria, ma non sufficiente

affinché x₀  sia un estremante relativo interno all'intervallo di definizione.

Nella fig. 7a qui a fianco, è rappresentata la funzione

.

Nell’ascissa 2 la derivata si annulla: .

La retta tangente in (2;1) è perciò orizzontale.

Tuttavia, il punto x = 2 non è un estremante relativo.

In corrispondenza di questo punto,

il grafico della funzione attraversa la retta tangente.

Quando ciò accade, si dice che siamo in presenza

di un "punto di flesso".

Dei punti di flesso

ci occuperemo più dettagliatamente in seguito.

Fig. 7a

Un po’ più inconsueto

è il caso della funzione

rappresentata qui a fianco (fig. 7b):

(il grafico di g(x)

è compreso fra le due parabole

y = -x² e y = x².

Nel punto x₀ = 0 la derivata

esiste e si annulla

(verificalo calcolandola!),

ma non si tratta

di un estremante relativo

(e neppure di un punto di flesso).

Fig. 7b

Infine, il teorema vale

(è ovvio, ma non nuocerà ribadirlo)

sotto l'ipotesi che f sia derivabile in x₀;

tale ipotesi è di norma verificata, ma non sempre:

ad esempio, la funzione  ha un minimo

per x₀=0, ma non è derivabile in tale punto.

Fig. 7c