x₀ si dice "punto di flesso" per la funzione f(x)

se, nel passaggio dalla sinistra alla destra dell'ascissa x₀,

il grafico della funzione attraversa la retta tangente

nel punto di ascissa x₀.

Più precisamente (vedi figure qui a fianco):

sia f definita in un intervallo,

sia x₀ un punto interno a questo intervallo,

f sia derivabile in x₀ ed esista dunque la retta t,

tangente al grafico nel punto (x₀, f(x₀)).

Se nel passaggio dalla sinistra alla destra dell'ascissa x₀,

il grafico della funzione attraversa la tangente t,

passando da sotto a sopra,

o da sopra a sotto rispetto ad essa,

allora si dice che x₀ è un punto di flesso per la f.

Si parla di "flesso ascendente"

quando la funzione passa "da sotto a sopra"

rispetto alla tangente in x₀ (figg. 8a, 8b),

si parla di "flesso discendente"

quando passa "da sopra a sotto" (8c, 8d).

Notare che in corrispondenza di un flesso ascendente

non è detto che la funzione. sia crescente:

potrebbe pure essere decrescente, come in fig. 8b.

Analogamente, nel caso di un flesso discendente,

la funzione potrà essere decrescente (fig. 8c)

ma anche crescente (fig. 8d).

fig. 8a

fig. 8b

fig. 8c

fig. 8d

Flessi verticali

Per estensione, si parla di "punto di flesso"

anche quando il grafico è dotato

di retta tangente verticale,

purché però la funzione attraversi la tangente verticale

con andamento “monotòno” (crescente o decrescente);

se infatti f non fosse monotòna,

il punto verrebbe chiamato “cuspide” (vedi più avanti).

Dovremo però in questo caso intenderci

sull’uso degli aggettivi “ascendente” e “discendente”,

perché, se la retta tangente è verticale, rispetto ad essa

non si può più parlare di “sotto” e di “sopra”.

La questione viene risolta nel modo seguente:

se ritorniamo a considerare le precedenti figure

8a, 8b, 8c, 8d, possiamo osservare che

in corrispondenza dei flessi che in quel contesto

avevamo chiamato “ascendenti”,

la funzione presenta una transizione dalla “convessità”

(diciamo, per ora, molto “alla buona”,

che la convessità è la “gobba verso l’alto”)

alla “concavità”

(gobba verso il basso, parte cava verso l’alto).

Per analogia, parleremo allora di flesso “ascendente”

in casi come quello della figura 9a,

di flesso “discendente”

in situazioni come quella di figura 9b,

anche se questi aggettivi, a prima vista,

potrebbero suscitare perplessità.

Flesso verticale

ascendente

(sì, non sto sbagliando! Dalla convessità

alla concavità,

quindi “ascendente”)

fig. 9a

Flesso verticale discendente

(sì, non sto sbagliando!

Dalla concavità

alla convessità,

quindi “discendente”)

fig. 9b