2.7 PUNTI STAZIONARI
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Data una funzione , si dice che x0 è un "punto stazionario" della f se . I punti stazionari di una funzione sono dunque quelli nei qualila retta tangente al grafico della funzione è orizzontale (NOTA). NOTA: scrivo spesso, per comodità, “orizzontale”, quando a rigore dovrei scrivere “parallela all’asse delle ascisse”: in effetti, di norma (anche se non sempre) l’asse delle ascisse è disposto orizzontalmente rispetto al lettore.
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Se x0 è un punto stazionario, allora può essere:
a) un punto di massimo o di minimo relativo (cioè, un estremante relativo): fig. 12a
b) oppure un flesso a tangente orizzontale: fig. 12b
c) oppure ancora (caso raro) può darsi che non sia né un estremante né un flesso: fig. 12c
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Punti stazionari: x = 0 (massimo relativo), x = 2/3 (minimo relativo) fig. 12a |
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Fig. 12c |
Punto stazionario: x = 0 (non è né di massimo, né di minimo, né di flesso)
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I punti stazionari di una funzione si ricercano ricavando la derivata prima e quindi risolvendo l'equazione .
Poi, naturalmente, occorrerà stabilire, per ciascun punto stazionario, se si tratti di un punto di massimo, di un punto di minimo, di un punto di flesso orizzontale oppure (caso raro) nessuna delle eventualità precedenti.
I teoremi che seguono sono finalizzati appunto a questa analisi dei punti stazionari.
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q Lemma 1
Se una funzione f è crescente su (a, x0) e decrescente su (x0, b) e inoltre è continua in x0, allora il punto x0 è di massimo relativo forte per la funzione.
Se f è decrescente su (a, x0) e crescente su (x0, b) e inoltre è continua in x0, allora il punto x0 è di minimo relativo forte per f.
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Osservazione 1
Notare come sia indispensabile l’ipotesi di continuità in x0.
Prendiamo, come controesempio, la funzione
(parabola col “buco”: fig. 13 qui a fianco).
L’ascissa x0=0 NON E’ di massimo relativo, sebbene f(x) sia crescente a sinistra di x0 e decrescente a destra.
Il Lemma non è applicabile per via della discontinuità in x0 |
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Fig. 13 |
Osservazione 2
L’enunciato non è banale, per il fatto che gli intervalli sono supposti APERTI.
Se si fosse scritto [a, x0] e [x0,b] al posto di (a, x0) e (x0,b)
si sarebbe ottenuta una proposizione ancora vera, ma del tutto ovvia!.
Invece gli intervalli sono aperti … il punto x0 è “tagliato fuori” da questi intervalli …
… e allora è indispensabile l’ipotesi di continuità della funzione in x0
per “saldare” il comportamento in x0 al comportamento in prossimità di x0, e assicurare la verità della tesi.
Dimostrazione del Lemma 1
Si effettua ricorrendo al concetto di "estremo superiore"
e applicando il "Teorema di esistenza del limite delle funzioni monotòne" . Dunque:
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1. f è crescente su (a, x0) ed è continua in x0. La continuità in x0 significa che . D’altra parte, applicando sull’intervallo (a, x0) il “Teor. di esistenza del limite delle funzioni monotone”, possiamo affermare che Confrontando le due uguaglianze appena scritte, si trae e da ciò discende, tenendo conto anche del carattere strettamente crescente della f su (a, x0), che, , si ha .
NOTA 1 Abbiamo scritto la disuguaglianza STRETTA in quanto: se, per assurdo, un fosse tale che , allora nell’intervallo la , essendo strettamente crescente su tutto , assumerebbe valori maggiori di ; ma ciò è incompatibile col fatto che
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2. f è decrescente su (x0, b) ed è continua in x0. La continuità in x0 significa che . D’altra parte, applicando sull’intervallo (x0,b) il “Teor. di esistenza del limite delle funzioni monotone”, possiamo affermare che Confrontando le due uguaglianze appena scritte, si trae e da ciò discende, tenendo conto anche del carattere strettamente decrescente della f su (x0,b), che, , si ha .
NOTA 2 Abbiamo scritto la disuguaglianza STRETTA in quanto: se, per assurdo, un fosse tale che , allora nell’intervallo la , essendo strettamente decrescente su tutto , assumerebbe valori maggiori di ; ma ciò è incompatibile col fatto che
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3. Perciò, in definitiva, per ogni x di (a,b) distinto da x0 è quindi x0 è di massimo relativo forte per la funzione, C.V.D.
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