1.3  I  TEOREMI DI LAGRANGE (O “DEL VALOR MEDIO”) E DI CAUCHY

 

TEOREMA DI LAGRANGE O “DEL VALOR MEDIO” Joseph-Louis Lagrange Torino 1736 - Parigi 1813 Ipotesi       Tesi

 

Giustificazione con l’intuizione geometrica (vedi la figura sovrastante)

 

Si capisce che, se f verifica le ipotesi del teorema, deve per forza esistere un punto P sul grafico nel quale

la tangente t alla curva sia parallela alla secante passante per i punti  e .

Detta c l’ascissa di P, la tangente t ha coefficiente angolare

 

e la secante AB ha coefficiente angolare 

.

Ma essendo t ed AB parallele, tali due coefficienti angolari saranno uguali.

 

Dimostrazione rigorosa del teorema di Lagrange

 

Si effettua riconducendosi al teorema di Rolle.

A tale scopo, si costruisce la funzione ausiliaria

 

con  scelto in modo tale che a tale funzione  si possa poi applicare Rolle.

A tale scopo, occorre che sussista la condizione  e quindi occorre che sia

 

da cui ricaviamo

 

Applichiamo dunque Rolle alla funzione

  (dài, ricontrolla, per sostituzione, che è proprio !);

ne deduciamo l’esistenza di un’ascissa c, strettamente compresa fra a e b, per la quale

 

Ma è

 

quindi avremo, per questa ascissa ,

 

ossia

,

come volevasi dimostrare.

ESERCIZI sul Teorema di Lagrange (risposte alla fine):

 

1)    E’ applicabile Lagrange alla funzione    su  ?

2)    Inventa una funzione+intervallo per cui Lagrange non sia applicabile.

3)    Applica Lagrange alla funzione    sull’intervallo ,        determinando l’ascissa  di cui il teorema assicura l’esistenza.

4)    Applica Lagrange alla funzione   sull’intervallo  ,        determinando l’ascissa  di cui il teorema assicura l’esistenza.

5)    Applica Lagrange alla funzione    sull’intervallo  ,        determinando l’ascissa  di cui il teorema assicura l’esistenza.

6)    a)   Applica Lagrange alla funzione    sull’intervallo , determinando l’ascissa  .          b)   Indica con A, B i punti del grafico della funzione, di ascisse 1 e 3 rispettivamente.  Dovresti ora essere in grado di stabilire qual è il punto N dell’arco della curva, di estremi A e B,  che ha dalla retta AB la distanza massima, e di calcolare quanto vale tale distanza massima.

Risposte:

 

1)       Sì: la funzione è continua sull’intervallo chiuso [0;4] e derivabile su tutto l’intervallo aperto (0;4).

E’ pur vero che la funzione non è derivabile in , perché in tale ascissa la derivata diventa infinita,

ma si tratta di un estremo dell’intervallo, non di un suo punto interno.

 

2)       Qui ci si può sbizzarrire… basta che la funzione considerata

 

a)     non sia definita su tutto l’intervallo: es.  su un intervallo contenente l’ascissa 0, come  

 

b)     oppure sia definita su tutto l’intervallo ma abbia in esso una discontinuità di specie qualsiasi:

 

·       potrai servirti di una funzione definita “a tratti”, o “per casi”, come ad  esempio

     

·       potrai scomodare funzioni come    oppure   

·       per non parlare di discontinuità più estese e “drammatiche” (funzione di Dirichlet e affini)

·       …

 

c)     oppure ancora abbia uno o più punti di non derivabilità.

 

·       Tipiche a tale proposito sono le funz. col simbolo di val. ass. che presentano di norma punti angolosi:

ad es.,   su di un qualsiasi intervallo chiuso contenente l’ascissa 1, come  [0; 2]

 

·       Puoi anche considerare situazioni di “derivata infinita”, es.

  o   su di un qualsivoglia intervallo chiuso contenente l’ascissa 0, come  

La funzione    è continua ovunque ma non è derivabile per x = 0

 

·       Puoi inventare una funzione definita “a tratti”,

in modo che sia continua su tutto un intervallo ma presenti un punto di non derivabilità

in corrispondenza dell’ ascissa in cui cambia l’espressione analitica: es.

 

 

·       Se vuoi fare un po’ di “scena”, potresti citare la funzione di Weierstrass

continua ma quasi mai derivabile di cui abbiamo parlato all’inizio del capitolo

 

·       …

 

3)     4)     5)     6)