CONSEGUENZE NOTEVOLI DEL TEOREMA DI LAGRANGE

TEOREMA: se una funzione ha DERIVATA NULLA in tutti i punti di un intervallo

(chiuso o aperto, limitato o illimitato), essa è COSTANTE in quell'intervallo

Dimostrazione

Se è su tutto un intervallo I (il simbolo si legge qui “identicamente uguale a”)

allora, presi due qualsivoglia punti di I, dovrà essere necessariamente,

in quanto, se così non fosse, ossia se fosse diverso da ,

per il teorema di Lagrange esisterebbe, fra e , un’ascissa nella quale si avrebbe

contro l’ipotesi che sia identicamente nulla in I. Ciò prova che la f è costante su I.

TEOREMA: se due funzioni f(x) e g(x) hanno DERIVATE UGUALI in tutti i punti di un intervallo

(chiuso o aperto, limitato o illimitato), allora DIFFERISCONO PER UNA COSTANTE

Dimostrazione

Se è su tutto un intervallo I,

allora, considerata la funzione ausiliaria ,

si avrà

da cui, per il teorema precedente, con costante,

e quindi , come volevasi dimostrare.

In Fisica, dato lo spazio percorso in funzione del tempo attraverso la funzione ,

la derivata fornisce, istante per istante, la velocità del moto:

Se l’intervallo temporale nel quale vogliamo studiare il moto è ,

la velocità media è data invece dal rapporto .

Ricordiamo che “velocità media” di un moto significa

“quella velocità la quale, se fosse stata mantenuta costante per tutto il tempo del moto,

avrebbe dato luogo al medesimo spostamento complessivo che si è registrato in regime di velocità varia”.

Ora, il valore t=c di cui il teorema di Lagrange assicura l’esistenza, è tale che ;

quindi la velocità in tale istante è = velocità media del moto.

In definitiva, Lagrange assicura

(se, come di norma avviene, la funzione s(t) soddisfa a determinate ipotesi di regolarità)

l’esistenza di un istante c nel quale la velocità istantanea è uguale alla velocità media del moto:

di qui la denominazione del teorema.

TEOREMA DI CAUCHY

Ipotesi

Tesi Esiste almeno un punto c in (a, b) tale che

Dimostrazione

Come per Lagrange, si utilizza una funzione ausiliaria:

, con k determinato in modo che ;

a questa funzione ausiliaria si applicherà poi il teorema di Rolle, deducendo facilmente la tesi.