Teorema (PRIMO TEOREMA DI DE L’HOPITAL)

Guillaume de l'Hôpital, francese, 1661-1704

Sia  un intorno di   , e siano  e  due funzioni definite e derivabili su tutto  

(non è necessario fare alcuna ipotesi sul comportamento delle due funzioni IN ,

 dove, addirittura, l'una o l'altra o entrambe le funzioni potrebbero persino non essere definite).

Sia inoltre   

cosicché il calcolo del limite   si presenti come forma di indecisione .

Supponiamo infine che sia  su tutto .

Bene!

Il teorema di cui ci occupiamo dice che, sotto le ipotesi di cui sopra,

,

ossia risulta

In pratica, il teorema di De l’Hopital dice che (se, beninteso, sono verificate determinate ipotesi)

il limite del rapporto di due funzioni, che si presenti sotto la forma di indecisione [0/0],

è uguale al limite del rapporto delle loro derivate.

 Il teorema vale anche se l’intorno  è solo unilaterale.

IMPORTANTE: il teorema vale anche se x, anziché tendere a  , tende a  oppure a  

IL “SECONDO TEOREMA DI DE L’HOPITAL”

Un enunciato analogo al precedente vale anche se il limite del rapporto  

si presenta sotto la forma di indecisione   

Quando si cita il “Teorema di De l’Hopital” ci si vuole di norma riferire

indifferentemente all’uno o all’altro dei due teoremi che abbiamo presentato,

o, se si preferisce, all’unico enunciato che si otterrebbe riunendoli.

Quando il rapporto delle derivate risulta essere ancora una forma di indecisione  o   

è possibile applicare il Teorema di De l’Hopital una seconda volta, ed eventualmente poi una terza …

Il teorema di De l’Hopital si riferisce alle forme di indecisione   oppure  ; tuttavia,

anche le forme   e le forme di indecisione con potenze:  

possono a volte essere risolte riconducendole a  oppure  e poi applicando De l’Hopital.

A tale scopo, si utilizzeranno le tre identità seguenti:

1)  

(si lascerà a numeratore

l’una o l’altra

delle due funzioni,

a seconda della convenienza)

2)

3)  

(si raccoglierà o l’una o l’altra delle due funzioni,

a seconda della convenienza;

tuttavia, di norma queste ultime formule non sono molto utili

perché possono essere sostituite da procedimenti alternativi

più vantaggiosi, ad esempio un banale denominatore comune)

                NOTA:  Verifica tu che lasciando a numeratore  

                               l’esponenziale, cioè passando a

                                                 …

… il tentativo di applicare de l’Hopital

    sarebbe fallito, perché avrebbe portato

    ad espressioni  via via più complicate

    rispetto a quella iniziale.