VERSO LA DIMOSTRAZIONE - Un’interpretazione geometrica del teorema di De l’Hopital

 

La figura qui sotto riportata vuole suggerire un’interpretazione geometrica molto suggestiva

del Teorema di De l’Hopital.

 

Proponiamoci di calcolare il limite seguente:   .   Tale limite si presenta sotto la forma di indecisione [0/0]: c’è dunque un “conflitto” fra la funzione a denominatore, che col suo tendere a zero “vorrebbe” far impennare la frazione verso l’infinito, e la funzione a numeratore, che col suo tendere a zero “vorrebbe” schiacciare la frazione verso lo zero. Il valore del limite dipenderà dalla RAPIDITA’ con cui tendono a zero, rispettivamente, numeratore   e denominatore . Ma la rapidità nel tendere a zero di  e, rispettivamente, , è legata alla PENDENZA con cui il grafico di ciascuna funzione confluisce verso lo zero!

E tale pendenza non è altro che

la pendenza della retta tangente in  a ciascuna curva                                                               

(legata, a sua volta, al COEFFICIENTE ANGOLARE della tangente ossia alla DERIVATA della funzione!)

 

Cerchiamo di mettere meglio a fuoco questa idea,

l’idea cioè di chiamare in causa le rette tangenti alle due curve in K, e il loro coefficiente angolare.

Prendiamo un’ascissa x (l’ascissa del punto H in figura) prossima a 1, e andiamo a considerare

il rapporto delle rispettive ordinate f(x) e g(x) (rapporto di cui ci interessa il limite per x che tende a 1).

Poiché siamo in prossimità del punto K,

i grafici delle due curve “si confondono con” le rispettive rette tangenti in K.

Il valore del rapporto  è quindi ottimamente approssimato dal valore del rapporto fra le due ordinate,

che corrispondono a x NON sulle curve    e  ,  bensì sulle rispettive rette tangenti in K.

 

Avremo allora     

 

La catena appena scritta costituisce un abbozzo di giustificazione

(non è sufficientemente preciso né sufficientemente generale per poter essere considerato una “dimostrazione”)

 del Teorema di De l’Hopital.

 

Ma ecco, alla pagina successiva, la “vera” dimostrazione, riferita a quello che abbiamo chiamato Il “Primo Teorema di De l’Hopital”, e la cui ipotesi e tesi ti invito a rivedere, prima di iniziare la lettura. Il “Secondo Teorema di De l’Hopital” avrebbe una dimostrazione analoga (anzi, più semplice, non essendoci in quel caso il problema del comportamento della funzione IN  ).

 

DIMOSTRAZIONE del Teorema di De l’Hopital (nel caso del Primo Teorema)

 

L’ipotesi vincola il comportamento delle due funzioni  IN PROSSIMITA’ di c:

 

·          e  definite e derivabili su tutto un intorno I_c di c, ad eccezione al più del punto c;

·         ;

·          su tutto  

·         esiste il   

ma non richiede alcunché riguardo al comportamento di  e  IN c,

dove le due funzioni potrebbero addirittura non essere definite.

Ciò finirebbe per complicarci alquanto la vita, ma (IDEA!) dato che la tesi riguarda

ciò che accade quando x viene FATTO TENDERE a c (e NON ciò che avviene con x UGUALE A c),

potremmo superare l’ostacolo andando a considerare, al posto delle funzioni date ,

i loro “prolungamenti per continuità in c”, ossia le due funzioni ausiliarie

;         

Nel caso in cui  sia continua in c, cioè si abbia non solo , ma anche ,

la  F coincide perfettamente con  f ; diciamo che questo è il caso in cui l’introduzione della F sarebbe inutile;

se invece  è discontinua in c (perché non è definita in c, oppure perché  è diverso da 0),

la  F differisce dalla  f esclusivamente per il comportamento in c, ma è del tutto identica alla  f  fuori dall’ascissa c;

in compenso, la  F è più “brava” della  f  perché, oltre a risultare  è pure  .

E le stesse cose si possono affermare riguardo alla G nei confronti della g.

 

Delle due funzioni F e G possiamo dunque dire che:

·          e   sono definite e continue su tutto I_c e derivabili su tutto ;

·          

·          su tutto  

·         esiste il    

E se ora riusciremo a dimostrare la tesi con riferimento alla due funzioni “figlie” F, G, vale a dire:

se riusciremo a far vedere che esiste il   ed è  ,

avremo provato pure la tesi originaria, quella sulle funzioni “madri” f, g,

in quanto le “figlie” F e G coincidono perfettamente, al di fuori dell’ascissa c, con le “madri” f e g.

 

Consideriamo dunque il rapporto  Possiamo scrivere la catena .

Ora, il teorema di Cauchy, applicato all’intervallo chiuso di estremi c, x

(intervallo che sarà [c, x] oppure [x, c] a seconda che x si trovi a destra o a sinistra di c)

ci assicura che internamente a questo intervallo esiste un’ascissa  c_x per la quale

 

(controlla tu con attenzione: le condizioni di applicabilità di Cauchy sono assicurate dall’ipotesi …).

 

Ricapitolando, per questa ascissa  , compresa fra c e x,  si ha  

Ma a questo punto siamo a posto !!! Sì, perché dato che esiste il  ,

essendo  compreso fra c e x  esisterà pure il  e sarà uguale al precedente,

ossia varrà l’uguaglianza ,  da cui  ,   C.V.D.