ESERCIZI sul Teorema di De l’Hopital

 

1)  Applicando il Teorema di De l’Hopital, verifica che:   

 

2)  Verifica che   

a)      scomponendo e semplificando (per due volte di seguito)

b)      applicando de l’Hopital (per due volte di seguito)

 

 

3)  Verifica applicando il Teorema di de l’Hopital la correttezza dei limiti seguenti, osservando comunque

     che per determinarli sarebbe sufficiente, come è ben noto, considerare i gradi dei polinomi in gioco:

 

 

 

4)  Considera i limiti notevoli seguenti (già noti) e ritrova i loro valori applicando de l’Hopital:

a)           b)                   c)       d)   

e)         f)     g)              h)   

 

i)        ESERCIZIO SVOLTO:   

 

                 RISOLUZIONE:  

 

5)  ESERCIZIO SVOLTO

 

 Verifica che,

per x che tende a zero,

sul rapporto

di funzioni

  

de l'Hospital NON è applicabile

perché il rapporto delle derivate non tende ad alcun limite;

ciononostante, il limite di f(x)/g(x), per x che tende a zero,

esiste (e vale 0).

      

 

Questo bel controesempio mostra che De l’Hopital esprime una condizione

SUFFICIENTE, MA NON NECESSARIA, per l’esistenza del limite in questione.

 

 

RISOLUZIONE:  

 

 

quindi, in effetti,

il rapporto delle derivate

non tende ad alcun limite

 al tendere di x a 0:

    

 

Ed ecco ora,

SENZA ovviamente

de l’Hopital,

il calcolo del limite:

    

 

6)  Stabilisci se è possibile applicare de l’Hopital alla determinazione del limite seguente:  

 

     Verifica, comunque, dividendo per x sia il numeratore che il denominatore, che tale limite vale 1.

 

 

 

 

7)   Verifica, col T. di de l’Hopital, i limiti notevoli seguenti: 

       a)    b)     c)  

 

      d)  ESERCIZIO SVOLTO:    

           RIS.:  

 

      e)  ESERCIZIO SVOLTO:     

             RIS.: .

 

                        In alternativa:   

 

      f)   ESERCIZIO SVOLTO:    

 

             

                                   

8)   Servendoti del Teorema di de l’Hopital, calcola i limiti seguenti (risultati in fondo alla pagina):

 

      g)       h)         i)   

 

      l)                         m)                        n)    

 

      o)       p)             q)   

 

      r)        s)       t)   

 

      u)   

      v)                     w)                                  z)   

 

      RISULTATI :  g)     h)     i)     l)     m)     n)     o)     p)     q)     r)     s)  

                              t)     u) ,  essendo uguale a 0 il limite dell’esponente      v)        w)     z)