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De l’Hopital mostra quanto è “FORTE” la funzione ESPONENZIALE e quanto è “DEBOLE” la funzione LOGARITMICA
a)
Con de l’Hopital si può provare che
Ciò è IMPORTANTISSIMO e può essere condensato nello “slogan”: la funzione esponenziale tende all’infinito PIU’ RAPIDAMENTE di qualsiasi funzione algebrica, comunque alto sia l’esponente di quest’ultima.
Se anche prendiamo n=1000, o ancora più alto, non riusciremo mai a costruire una funzione algebrica che riesca a competere con l’esponenziale, nella rapidità del tendere a infinito!!!
“L’ESPONENZIALE
VINCE” CONTRO
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De l’Hopital permette poi di dimostrare che
Ciò è IMPORTANTISSIMO e può essere condensato nello “slogan”: la funzione logaritmica tende all’infinito PIU’ LENTAMENTE di qualsiasi funzione algebrica.
… Non importa se cerchiamo di “indebolire” la funzione algebrica assegnandole esponenti piccoli, come 1/3, 1/10, 1/1000 …
il limite precedente, qualunque sia l’esponente
“IL
LOGARITMO PERDE” CONTRO
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Dimostra, trasformando opportunamente il prodotto in quoziente per poter poi applicare De l’Hopital, che
Questo conferma la “maggior forza” della funzione esponenziale rispetto alla funzione algebrica, anche in un contesto diverso dal precedente.
Qui, nel “tira-e-molla” fra due “forze” contrastanti (il tendere a zero della funzione esponenziale, che “vorrebbe” far convergere il prodotto a zero, e il tendere all’infinito della funzione algebrica, che “vorrebbe” far divergere il prodotto all’infinito, la funzione esponenziale è talmente rapida nel suo tendere a zero, che non si lascia “sconfiggere” da nessuna funzione algebrica tendente all’infinito, comunque grande scegliamo l’esponente di quest’ultima nel tentativo di “irrobustirla”.
“L’ESPONENZIALE
VINCE” CONTRO
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SLOGAN CONTRO PRECISIONE
E’ molto utile ricordare gli slogan
“l’esponenziale vince” e “il logaritmo perde” (nel “conflitto” con ogni funzione algebrica), “l’esponenziale è una funzione forte” (nel suo tendere all’infinito o nel suo tendere a zero), “il logaritmo è una funzione debole” (nel suo tendere all’infinito positivo o negativo),
ma GLI SLOGAN DEVONO PIU’ CHE ALTRO COSTITUIRE RICHIAMI DI CARATTERE GENERALE, DA INSERIRE POI IN UN CONTESTO PRECISO.
In che senso “l’esponenziale vince”? … Nel senso PRECISO espresso dalle relazioni viste alla pagina precedente:
Sarebbe SBAGLIATISSIMO, ad esempio,
di fronte al limite affermare che, siccome l’esponenziale vince sulla funzione algebrica, tale limite è zero (in effetti, sappiamo invece che vale 1). NON E’ IN QUESTO CONTESTO che l’esponenziale “vince” sulla funzione algebrica!!!
E discorso analogo vale per il logaritmo.
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RISCOPRIAMO I LIMITI NOTEVOLI
Come abbiamo avuto modo di constatare nel corso di questo capitolo, molti fra i famosi “limiti notevoli”, la cui determinazione era stata a suo tempo in alcuni casi faticosa, possono a questo punto essere ricostruiti facilmente grazie al buon de l’Hopital. Ecco qui un quadro riassuntivo generale:
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