E’ periodica di periodo ; la studieremo sull’intervallo
q Dominio :
q La funzione non è né pari, né dispari
q Intersezioni con l’ asse y:
Intersezioni con l’asse x
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NOTA: la divisione per cos x è possibile solo supponendo ; ciò significa escludere quei valori dell’arco x che rendono nullo il coseno, ossia: . D’altra parte, tali valori di x NON sono soluzioni dell’ equazione , come è immediato verificare per sostituzione diretta. |
q Segno della funzione
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NOTA La disequazione può essere risolta in diversi modi; ad es., portandola sotto la forma e tracciando i grafici delle due funzioni su di uno stesso riferimento cartesiano. Se invece si desidera risolverla allo stesso modo dell’equazione, ossia tramite divisione per cos x, qui si ha una difficoltà in più: infatti, in una DISequazione, non è lecito divedere ambo i membri per una stessa quantità, se non a condizione che questa sia >0. Quando invece i due membri vengono divisi per una stessa quantità negativa, occorre cambiare il verso della disequazione.
Dovremo perciò distinguere TRE casi: . Da cui i tre sistemi.
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Il primo sistema è verificato con
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Il secondo sistema è verificato con
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Il terzo sistema è verificato con
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La disequazione , equivalente alla disgiunzione logica dei tre sistemi, è pertanto verificata con
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Ricapitoliamo: con
con … e il seguente schema lineare descrive il segno della frazione :
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q Limiti ai confini del dominio:
q Derivata prima
Si tratta di un’equazione lineare in seno e coseno,
per la quale esistono diversi metodi di risoluzione:
· il metodo delle equazioni parametriche
·
il metodo del sistema con
· il metodo dell’angolo ausiliario
· il metodo grafico “classico”
· il metodo grafico circonferenza-retta
Utilizzando, ad esempio, le formule parametriche , avremo:
Abbiamo perciò trovato le soluzioni .
C’è però da considerare che le formule parametriche, di cui ci siamo serviti per il procedimento risolutivo,
contengono e quindi non hanno significato per quei valori di x, per quali non esiste.
Utilizzare le formule parametriche comporta perciò di supporre
cioè
D’altra parte, l’arco POTREBBE BENISSIMO essere soluzione dell’equazione considerata:
occorrerà perciò completare la risoluzione andando a controllare, per sostituzione diretta, se lo è oppure no.
Ci chiediamo dunque: l’uguaglianza è verificata con ?
La risposta è negativa:
Perciò non è soluzione; rimangono soltanto le soluzioni trovate prima, .
Essendo il denominatore sempre positivo
(tranne che con , valore per cui si annulla, e l’espressione non esiste)
il segno della frazione è determinato dal segno del numeratore.
Sarà perciò .
Per risolvere la disequazione potremmo utilizzare diversi metodi,
fra cui quello che sfrutta le formule parametriche;
in questo caso direi che il procedimento più comodo è senz’altro quello grafico “classico”,
consistente nel portare l’equazione sotto la forma equivalente
e nel rappresentare le due curve
su di uno stesso riferimento cartesiano,
allo scopo di determinare per quali valori di x la prima curva sta al di sopra della seconda
(osserviamo che, avendo noi già risolto l’equazione ,
equivalente a ,
sappiamo già quali sono le ascisse dei loro punti di intersezione).
Tracciare i grafici “a mano” è particolarmente semplice
(anche se la figura sopra riportata è stata realizzata col software GEOGEBRA):
l’andamento della funzione è ben noto, e la curva
si può ottenere traslando verso l’alto di un’unità la sinusoide .
Dai grafici sovrapposti emerge chiaramente che le soluzioni della disequazione sono: . Perciò:
Lo schema sopra riportato ci fornisce un’ottima occasione per ribadire un suggerimento importante.
In uno schema lineare relativo ad una funzione goniometrica, funzione che di norma viene studiata
soltanto sull’intervallo per via della sua periodicità, è sempre opportuno andare anche
“un
pochettino a sinistra dello
In questo modo, infatti, sarà molto più facile riconoscere alcune caratteristiche della funzione,
la quale, sebbene venga analizzata su , ha però poi un grafico che dev’essere pensato
come frutto di un “copia e incolla” che replica su tutto l’andamento che si aveva tra 0 e .
Nel caso della funzione da noi considerata, questa estensione dello schema ci permette di riconoscere
molto chiaramente le situazioni di massimo, che invece non sarebbero risultate altrettanto evidenti
se lo schema fosse stato limitato rigorosamente alle sole ascisse tra 0 e .
q Derivata seconda
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Osserviamo che, per aversi , dovrebbe essere cioè , equazione priva di soluzioni in quanto, per ogni valore di x, è sempre , quindi l’uguaglianza richiederebbe che, per uno stesso x, sia contemporaneamente , il che è palesemente impossibile.
Perciò la y” non può mai annullarsi.
Anzi, la y” è, per ogni x del dominio, strettamente negativa:
La funzione è perciò priva di flessi, e sempre convessa.
Il grafico è riportato qui a fianco. |
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