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10. DETERMINAZIONE DEL DOMINIO DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE; DOMINI DELLE FUNZIONI FONDAMENTALI
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TIPO DI FUNZIONE
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DOMINIO |
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Polinomiale:
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Esempio ha come dominio tutto |
In un SOFTWARE MATEMATICO, potenza = accento circonflesso:
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Fratta:
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L’insieme dei valori di per cui il denominatore esiste ed è :
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Esempi ha come dominio l’insieme dei valori di per cui è . Perciò
ha come dominio l’insieme dei valori di per cui è ; . Perciò
ha come dominio l’insieme dei valori di per cui è ; .
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In un SOFTWARE MATEMATICO, OCCHIO ALLE PARENTESI! va scritta come perché la scrittura indicherebbe invece Ancora:
va scritta come |
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Radicale con indice pari: o più in generale
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L’insieme dei valori di per cui il radicando esiste ed è :
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Esempi
ha come dominio l’insieme dei valori di per cui è . Il dominio è perciò
Il dominio è perciò
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In un SOFTWARE MATEMATICO: va scritta come va scritta come oppure come (in Inglese, radice quadrata = square root).
Occhio alle parentesi! produrrebbe invece !!!
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Radicale con indice dispari: o più in generale
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Coincide con l’intero dominio di
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Esempio ha come dominio l’insieme dei valori di per cui è . Perciò
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In un SOFTWARE MATEMATICO, per indicare questa funzione si scriverebbe . |
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Esponenziale con base costante:
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Coincide con l’intero dominio di
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Esempio ha come dominio l’insieme dei valori di per cui è . Perciò
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In un SOFTWARE MATEMATICO, l’esponenziale con base “e” si indica con EXP: es., .
“e” è il “numero di Nepéro”:
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Logaritmica (con base del logaritmo costante):
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L’insieme dei valori di per cui l’argomento del logaritmo esiste ed è >0:
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Esempi
Perciò
Perciò
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In un SOFTWARE MATEMATICO, il logaritmo “naturale” cioè quello che ha per base il “numero di Nepéro” può essere indicato in modi diversi. Ad esempio, in GEOGEBRA si usa oppure . Sempre in GEOGEBRA, il simbolo indica invece il logaritmo in base 10 e il simbolo il logaritmo in base 2.
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Per la complicata questione della simbologia utilizzata in matematica sui logaritmi, ti rimando al capitolo apposito.
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FUNZIONI GONIOMETRICHE: SENO, COSENO, TANGENTE, COTANGENTE |
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(oppure ) |
Coincide con l’intero dominio di |
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Coincide con l’intero dominio di |
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(oppure ) |
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(oppure ) |
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Nella funzione “seno”, e nelle altre funzioni goniometriche, si intende sempre che l’argomento sia un angolo, o arco, misurato in radianti
(ricordiamo che MISURARE UN ANGOLO IN RADIANTI significa assumere come misura dell’angolo la lunghezza dell’arco corrispondente, calcolata prendendo come unità di misura il raggio).
Se proprio si volessero utilizzare invece i gradi, si impiegherebbero scritture tipo .
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In GEOGEBRA
il simbolo scelto per il seno è (latino sinus, inglese sine).
Si hanno poi i simboli ,
mentre la cotangente non è utilizzata (si può sempre rimpiazzarla col reciproco della tangente)
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Esempi:
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FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE: ARCO SENO, ARCO COSENO, ARCO TANGENTE |
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Sulle macchinette calcolatrici troviamo i tre simboli ; occhio però, qui abbiamo uno “pseudo-esponente”, che significa “funzione inversa” e non “reciproco”!
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Coincide con l’intero dominio di |
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Esempi
da cui
da cui |
In GEOGEBRA, i simboli per le funzioni goniometriche inverse sono:
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si legge: “arco seno di ”, ma il suo significato è: “quell’arco, compreso fra e , il cui seno è uguale al valore di ”.
Puoi trovare approfondimenti sulle tre funzioni goniometriche inverse alla fine del paragrafo sull’ “inversione di una funzione”.
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Potenza con esponente intero positivo: con intero |
Stesso dominio di |
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Potenza con esponente intero negativo: con intero |
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Potenza con esponente nullo:
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Potenza con esponente non intero, costante e positivo: con non intero (razionale o irrazionale)
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, es. . Una potenza con esponente irrazionale , ossia della forma , è uguale a quel numero che è compreso fra i valori delle potenze, aventi la stessa base e il cui esponente è:
I) un’approssimazione razionale per difetto di ; II) un’approssimazione razionale per eccesso di . Insomma,
Ad esempio, si ha quindi è quel numero tale per cui
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Potenza con esponente non intero, costante e negativo: con non intero (razionale o irrazionale)
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Potenza con base ed esponente variabili:
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E’ noto che una potenza a esponente frazionario corrisponde a un radicale: Tuttavia, mentre, ad esempio, nella scrittura la lettera può assumere valori di segno qualsiasi, invece se scriviamo intenderemo che debba essere
Con gli esponenti frazionari, infatti, si intende sempre che la base della potenza sia positiva ( per i frazionari positivi, per i frazionari negativi), altrimenti si avrebbero gravi inconvenienti: ad esempio, per la scrittura si potrebbero scrivere entrambe le catene ; … che evidentemente si contraddicono fra loro!
Questa restrizione (positività della base) viene ovviamente estesa anche agli esponenti irrazionali (basti pensare a come questi ultimi sono stati definiti, a partire da situazioni con esponente razionale …) e, nel caso delle funzioni con base ed esponente entrambi variabili, per omogeneità resta in vigore pure nel caso fortuito che l’esponente assuma valore intero.
E’ poi ovvio che nel caso la base della potenza sia 0, l’esponente non potrà essere né né : infatti
q com’è noto, l’operazione è “indeterminata”, quindi rientra fra le operazioni “illegal”, “non eseguibili”;
q poiché un esponente negativo “caccia la base a denominatore, con esponente che viene reso positivo”, con base 0 ed esponente <0 si creerebbe uno 0 a denominatore: “illegal operation”.
Esempi
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In una potenza con esponente non intero, si suppone sempre la base non negativa
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Un radicale con indice dispari è calcolabile qualunque sia il segno del radicando
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Un radicale con indice pari è calcolabile (in ) solo se il radicando è
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Qui, essendo l’esponente , va anche escluso che la base sia |
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