11. DETERMINAZIONE DEL CODOMINIO

Supponiamo ora che sia assegnata una funzione e che sia richiesto di DETERMINARNE IL CODOMINIO.

Spesso la risposta si può trovare TRACCIANDO UNA BOZZA DEL GRAFICO della funzione in esame.

ESEMPIO 1

Trovare il codominio della funzione .

Poiché sappiamo (essendo il 2° membro un’espressione di 2° grado)

che il grafico è una parabola,

potremmo disegnare questa parabola, tenendo conto che:

♪   

♫    la concavità è rivolta verso il basso (  )

e andare a vedere quali sono i valori effettivamente assunti dalla y:

si tratta dei valori , ossia il codominio risulta essere l’intervallo .

ESEMPIO 2

Determinare il codominio della funzione .

Facile tracciare il grafico di questa funzione:

●       il dominio è tutto  

      (infatti il denominatore non si può mai annullare);

●       con  abbiamo ;

●       per valori opposti di x abbiamo lo stesso valore di y,

cioè, , ad esempio  …

quindi il grafico sarà simmetrico rispetto all’asse verticale;

●       quando x si allontana da 0 (verso sinistra o verso destra),

la quantità  cresce

e quindi il suo reciproco decresce,

schiacciandosi verso lo 0 per valori positivi.

Il grafico è dunque quello rappresentato qui a fianco

da cui emerge che l’insieme dei valori effettivamente

assunti dalla y, ossia il codominio, è l’intervallo
.

Un ALTRO METODO PER DETERMINARE IL CODOMINIO di una funzione data

è BASATO SU PASSAGGI ALGEBRICI anziché sul tracciamento di grafici.

Il codominio è l’insieme dei valori di y che hanno almeno una controimmagine;

quindi prenderemo l’equazione che definisce la funzione e cercheremo di risolverla rispetto a x,

per trovare la legge che permetta di ritornare da y a x … insomma, proveremo ad INVERTIRE la funzione …

a un certo punto risulterà chiaro quali sono i valori di y per i quali si può risalire a x,

insomma: ad un certo punto si capirà quali sono i valori di y che hanno almeno una controimmagine.

L’insieme di questi valori di y costituirà il codominio della funzione.

Beninteso: se troveremo che qualche valore di y ha PIU’ DI UNA controimmagine,

allora ne dedurremo che la funzione non è invertibile (perlomeno, sul dominio considerato); ma …

… il nostro scopo non è qui di stabilire se la funzione sia invertibile o no, il nostro scopo è di determinare il codominio!

ESEMPIO 3 

Determinare il codominio della funzione .

Ora, quest’ultima equazione si può risolvere rispetto a x  solo per ; in tal caso, si ottiene

Abbiamo stabilito così che il codominio della funzione, cioè l’insieme dei valori effettivamente assunti da y,

ovvero l’insieme dei valori di y che hanno almeno una controimmagine), è .

ESEMPIO 4

Determinare il codominio della funzione  (ce ne siamo già occupati per via grafica …)

A questo punto, possiamo risalire a x soltanto se il secondo membro è maggiore o uguale a 0, ossia .

Risolvendo la disequazione, si ottiene : perciò sono dotati di controimmagine tutti e soli i valori di y

tali che , e ciò significa che il codominio della nostra funzione è l’intervallo .

Osserviamo che ogni valore di y appartenente a C ha DUE controimmagini: .

Questo ci dice che la funzione considerata non è iniettiva, quindi non è invertibile.

Ma a noi non interessava la questione se la funzione in esame fosse o non fosse invertibile:

ci interessava soltanto trovare i valori di y che avevano almeno una controimmagine,

e ormai abbiamo riconosciuto trattarsi dell’intervallo .

Se poi fossimo interessati anche all’inversione della funzione,

potremmo dire che è invertibile soltanto qualora si vada a restringere l’insieme di partenza

ad un intervallo nel quale ogni y del codominio abbia UNA SOLA controimmagine.

Ad esempio, se imponiamo a x di essere positiva, ossia se assumiamo come dominio

soltanto l’intervallo  anziché tutto , il doppio segno davanti alla radice se ne andrà, e avremo

.

Ogni y di  avrà così UNA SOLA controimmagine, e la funzione risulterà invertibile.

La funzione  stabilisce quindi una corrispondenza biunivoca fra gli insiemi  e .