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13. FUNZIONI CRESCENTI O DECRESCENTI ( = MONOTÒNE) SU DI UN INTERVALLO |
Sia una funzione reale di variabile reale (cioè: ); indichiamone il dominio con .
Sia poi un intervallo, incluso nel dominio della funzione: .
Si pongono allora le seguenti definizioni:
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f strettamente crescente |
f strettamente decrescente |
f crescente in senso lato |
f decrescente in senso lato |
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grafico ascendente |
grafico discendente |
grafico ascendente con eventuali tratti orizzontali |
grafico discendente con eventuali tratti orizzontali |
OSSERVAZIONI
a) Se una funzione è strettamente crescente (risp.: decrescente) in un intervallo,
allora è anche corretto (seppure meno preciso) affermare che,
su quell’intervallo, essa è crescente (risp.: decrescente) in senso lato.
b) Le funzioni aventi carattere crescente o decrescente su di un intervallo
si dicono “monotòne” (l’accento si può scrivere o non scrivere) su quell’intervallo.
c) Una funzione, che sia strettamente monotona su di un intervallo,
è certamente iniettiva (e, quindi, invertibile) su quell’intervallo
( = valori della variabile indipendente distinti hanno sempre immagini distinte).
Si può anche dire: condizione sufficiente (sebbene non necessaria)
affinché una funzione sia iniettiva su di un intervallo, è che sia ivi monotona in senso stretto.
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ESERCIZI (Risposte a pag. 28)
Ciascuna delle funzioni seguenti è monotona su tutto l’insieme specificato a fianco (oppure, se tale insieme non è specificato, su tutto il suo dominio). Stabilisci se è “strettamente crescente”, “strettamente decrescente”, “crescente in senso lato”, o “decrescente in senso lato”.
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1) 2) 3) 4) 5) 6) |
Sia una funzione reale di variabile reale (cioè: ; indichiamone il dominio con .
Si pongono allora le seguenti definizioni:
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Una funzione assegnata potrà essere, a seconda dei casi: pari, o dispari, oppure ancora … né pari, né dispari.
ESEMPI:
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Esempi notevoli di funzioni PARI sono:
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·
E’ evidente poi che una somma, una differenza, o più in generale, una combinazione lineare, di funzioni pari, è ancora una funzione pari.
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Esempi notevoli di funzioni DISPARI sono:
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·
·
E’ evidente poi che una somma, una differenza, o più in generale, una combinazione lineare, di funzioni dispari, è ancora una funzione dispari.
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Invece per una radice con indice pari non ha senso neppure chiedersi se sia pari o se sia dispari, dato che comunque, non potendo essere , non è possibile assegnare a valori fra loro opposti.
Quindi di una radice con esponente pari diremo che è una funzione “né pari, né dispari”.
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Poiché se una funzione è PARI, allora a valori opposti di corrisponde sempre LO STESSO valore di , se una funzione è pari allora il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’asse verticale; e viceversa.
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Poiché se una funzione è DISPARI, allora a valori opposti di corrispondono sempre VALORI OPPOSTI di , se una funzione è dispari allora il suo grafico risulta simmetrico rispetto all’origine; e viceversa.
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Ribadiamo che, se il dominio di una funzione NON è simmetrico rispetto all’ascissa 0,
allora evidentemente è già escluso a priori che la funzione possa essere pari, o dispari.
Abbiamo già puntualizzato questo in relazione alle funzioni della forma .
Per fare ora un altro esempio, prendiamo la funzione .
Essa ha come dominio ; bene, poiché tale dominio non presenta simmetria rispetto all’ascissa 0,
non ha senso chiedersi se per caso la funzione sia pari, o sia dispari: essa certamente non è né pari, né dispari.
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ESERCIZI (Risposte a pag. 28)
Per ciascuna delle seguenti funzioni, stabilisci se è pari, o dispari, oppure né pari né dispari:
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1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) |
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8) 9) 10) 11) 12) 13) |