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VERSO L’ANALISI MATEMATICA: INTORNI, ESTREMI & C.
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Il termine inglese “number line” (“linea numerica”, “linea dei numeri”) indica una retta, dotata di a) orientamento b) origine c) unità di misura, sulla quale vengono rappresentati i numeri reali.
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Vi è una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei numeri reali (razionali+irrazionali) e l’insieme dei punti della number line: ♪ ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto (detto “l’immagine” di quel numero); ♫ e ad ogni punto della number line corrisponde uno e un solo numero reale (“l’ascissa” di quel punto).
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In ogni intervallino, anche piccolissimo, della “number line”, troviamo sempre infiniti punti con ascissa razionale ed infiniti altri punti con ascissa irrazionale.
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In lingua italiana viene di norma denominata “asse delle ascisse”, locuzione che però tende a richiamarci un’idea di “orizzontalità”, mentre non è detta che una number line debba essere orizzontale: ecco perché preferiamo il termine inglese. |
Un asse delle ordinate, in un riferimento cartesiano, altro non è che una number line disposta (nella maggior parte dei casi) verticalmente rispetto all’osservatore. |
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Si chiamano “intervalli” particolari insiemi numerici (vedi schema seguente). Gli intervalli possono essere: chiusi, aperti, semiaperti; possono essere limitati o illimitati.
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Notare l’uso delle parentesi: · parentesi QUADRA = estremo COMPRESO; · parentesi TONDA = estremo ESCLUSO |
Certi testi al posto della tonda usano la “quadra voltata di schiena” e quindi, ad es., al posto di scrivono
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Intervallo chiuso di estremi a e b:
Intervallo aperto di estremi a e b:
Intervallo di estremi a e b, chiuso a sinistra e aperto a destra:
Intervallo di estremi a e b, aperto a sinistra e chiuso a destra:
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Intervallo chiuso illimitato superiormente:
Intervallo aperto illimitato superiormente:
Intervallo chiuso illimitato inferiormente:
Intervallo aperto illimitato inferiormente:
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Ad esempio, l’intervallo : q contiene il 4; q contiene tutti i numeri, NON SOLO (occhio!) quelli interi MA ANCHE quelli “con la virgola”, compresi fra 4 e 8; q NON contiene l’8.
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Anche l’intero insieme si può pensare come un intervallo (illimitato sia inferiormente che superiormente):
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Da quanto sopra emerge che l’aggettivo “aperto”, riferito ad un intervallo, significa “privato degli estremi”, mentre “chiuso” significa “compresi gli estremi” (ci sono poi le situazioni intermedie degli intervalli “semiaperti”).
Vedremo più avanti come gli stessi aggettivi “aperto” e “chiuso” possano essere adoperati, con un significato che verrà precisato, in relazione a sottoinsiemi di QUALSIASI.
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q INSIEME “NUMERICO” Viene così chiamato un insieme i cui elementi siano numeri; noi resteremo esclusivamente nell’ambito dei numeri reali, senza sconfinare mai nel campo dei complessi; quindi per noi un “insieme numerico” sarà un sottoinsieme di .
q PUNTO Poiché su di una “number line” ad ogni numero reale corrisponde 1 e 1 solo punto geometrico, e viceversa, il termine “punto” è spesso usato come sinonimo di “numero, pensato rappresentato su di una number line”.
q Si dice “INTORNO” DI UN PUNTO , un qualsiasi intervallo aperto contenente .
Quindi possiamo dire che un “intorno” di è un intervallo della forma , essendo due numeri strettamente positivi ( ).
La distanza viene detta “l’ampiezza” dell’intorno dato. Un intorno di viene di norma indicato con: , oppure
q INTORNI “CIRCOLARI” DI UN PUNTO
Si tratta di quegli intorni per i quali . Quindi: si dice “intorno circolare” di , un intervallo aperto della forma .
· Si parla di “intorno circolare di centro e raggio ” · Si può utilizzare il simbolo · L’ampiezza di tale intorno è
E’ pertanto . E si può scrivere (MOLTO importante!):
PSST … BENINTESO … Con riferimento alla figura qui sopra, non è che l’intorno circolare di sia la parte di piano interna al cerchio … NO! E’ la parte DI RETTA fra le due crocette! Anzi, a dire al vero: è l’insieme dei NUMERI che sono rappresentati geometricamente dai punti compresi fra le due crocette.
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q INTORNO DI “MENO INFINITO” E’ un qualsiasi intervallo aperto del tipo :
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Un intorno di “meno infinito”: l’insieme degli |
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q INTORNO DI “PIÙ INFINITO” E’ un qualsiasi intervallo aperto del tipo
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Un intorno di “più infinito”: l’insieme degli |
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q INTORNO DI “INFINITO” E’ l’unione di un intorno di con un intorno di
dove ordinariamente interessa il caso , ma potrebbe anche essere (e allora l’intorno di coinciderebbe con tutto privato di un solo punto) o (l’intorno di coinciderebbe con tutto )
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Un intorno di “infinito”: l’insieme degli minori di a, VEL maggiori di b |
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q INTORNO CIRCOLARE DI INFINITO: o anche dove di norma , ma potrebbe essere pure o , nel quale ultimo caso l’intorno circolare di coinciderebbe con l’intero insieme
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NEL SEGUITO UTILIZZEREMO IL SIMBOLO COME UN SIMBOLO “JOLLY”, che potrà indicare un’ascissa finita , ma pure uno dei simboli , o , o (a volte) qualora emerga dal contesto che stiamo facendo un’affermazione, o dando una definizione, la cui validità o portata si estende anche a quei casi.
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q OSSERVAZIONE IMPORTANTE: L’INTERSEZIONE DI DUE INTORNI DI È SEMPRE ANCORA UN INTORNO DI
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q INTORNI “UNILATERALI”: intorno SINISTRO, intorno DESTRO di un punto
· Si dice “intorno sinistro” di un punto , un qualsiasi intervallo
· Si dice “intorno destro” di un punto , un qualsiasi intervallo
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OSSERVAZIONE Qualche testo preferisce formulare le definizioni nel modo seguente: “intorno sinistro” di = ; “intorno destro” di = . Viene così escluso dall’intorno il punto stesso. Ciò da una parte permette un risparmio di parole in alcuni enunciati, ma dall’altra è assai poco “naturale”, perché appare artificioso tagliare fuori dall’intorno proprio il punto di cui ci si sta occupando. Perciò noi adotteremo le definizioni da cui abbiamo preso le mosse, quelle in cui l’intervallo è chiuso dalla parte di .
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q Quando si vuole sottolineare che un intorno di un punto è “bilaterale”, si parla di “intorno completo”. Questo aggettivo fa da rafforzativo per maggiore chiarezza, ma resta inteso che ogniqualvolta scriveremo semplicemente “intorno”, intenderemo sempre “intorno bilaterale ovvero completo”, salvo una eccezione: parlando di un estremo di un intervallo , si potrà scrivere semplicemente “intorno” ma sottintendere che tale intorno sia: soltanto destro, per , e soltanto sinistro, per .
q Noi in generale quando considereremo un intorno di , lo prenderemo circolare. D’altra parte, ACCADE SPESSISSIMO CHE RISULTI DEL TUTTO INDIFFERENTE PENSARE AD INTORNI “CIRCOLARI” O AD INTORNI “GENERICI”. Su questo fatto ritorneremo a riflettere, quando la circostanza si presenterà.
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