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q Dato un insieme , il punto (appartenente o non appartenente ad E) si dice “PUNTO DI ACCUMULAZIONE” per E se ogni intorno completo di contiene almeno un punto di E, DISTINTO DA .
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Esempio 1 Consideriamo l’intervallo aperto . Evidentemente, qualsiasi punto di è di accumulazione per ; |
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ma anche i due estremi , pur non appartenendo ad , sono punti di accumulazione per .
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Esempio 2 Consideriamo l’insieme
di cui nella figura qui a fianco sono rappresentati alcuni fra gli infiniti elementi. Questo insieme F possiede un punto di accumulazione, NON appartenente all’insieme stesso: si tratta del numero 0. Infatti, ogni intorno di 0 contiene punti di F !!! Dimostriamolo. Fissiamo un intorno di 0, ossia un intervallo aperto del tipo . Ora, se noi prendiamo una frazione della forma e diamo a valori molto grandi, otteniamo che la frazione si fa “piccola quanto noi desideriamo”, per cui, comunque piccolo sia stato fissato , tale frazione riuscirà comunque a “intrufolarsi” fra 0 e , “entrando” quindi nell’intorno considerato. In effetti, se vogliamo che si abbia , basta che scegliamo . |
Per ovvi motivi pratici di carattere grafico, abbiamo rappresentato in figura soltanto pochi fra gli infiniti elementi dell’insieme (la figura mostra poi anche il punto 0, NON appartenente all’insieme F). Ma con gli occhi della mente possiamo “vedere” gli elementi di F “accumularsi”, al crescere di k, in prossimità dello 0.
Osserviamo poi che 0 è l’unico punto di accumulazione per l’insieme F. Infatti, qualora noi prendiamo un altro punto c, diverso dallo 0:
1) se c NON appartiene ad F, riusciremo sempre a determinare un intorno di c talmente piccolo da non contenere alcun punto di F;
2) e se c appartiene ad F, riusciremo sempre a determinare un intorno di tale punto, talmente piccolo da non contenere altri punti di F se non, appunto, il centro dell’intorno.
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Esempio 3 - L’insieme dei numeri razionali ha come punti di accumulazione … tutti i numeri reali! |
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q TEOREMA Se è un punto di accumulazione dell’insieme E, allora ogni intorno di contiene INFINITI punti di E.
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In virtù di questo teorema, molti testi definiscono direttamente “punto di accumulazione di un insieme E”, un punto tale che in ogni suo intorno cadano infiniti punti di E.
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Dimostrazione Sia un punto di accumulazione di E. Fissiamo un intorno . Per definizione di punto di accumulazione, tale intorno conterrà almeno un punto di E, distinto da ; chiamiamo questo punto. Consideriamo ora l’intorno di centro e raggio : essendo punto di accumulazione di E, tale intorno dovrà contenere un altro punto di E, distinto da ; indichiamolo con . Osserviamo che apparterrà anche all’iniziale . Andiamo ora a considerare l’intorno di centro e raggio : in esso esisterà un ulteriore punto di E (e apparterrà pure all’iniziale ); ecc. ecc. Insomma, il procedimento può essere iterato in modo da trovare in tanti elementi di E quanti se ne desiderano.
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q Definizione - Un punto di E, che non sia di accumulazione per E, viene detto “PUNTO ISOLATO” di E. I punti dell’insieme F dell’Esempio 2 sono tutti isolati. Invece l’insieme dell’Esempio 1 non ha punti isolati.
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