6.  PUNTI INTERNI O ESTERNI AD UN INSIEME;

     PUNTI DI FRONTIERA PER UN INSIEME

Sia E un insieme numerico, e sia .

q        si dice INTERNO ad E se e solo se esiste un intorno completo di , interamente incluso in E.

Se prendiamo come insieme E l’intervallo APERTO ,

vedremo che TUTTI i punti di E sono “interni”.

Sei d’accordo? Osserva la figura qui a fianco.

Sia x un qualsivoglia punto di ; indicata con  la più piccola

fra le distanze di x dagli estremi a, b dell’intervallo,

qualsiasi intorno di centro x e raggio  è incluso in .

Quindi x  è interno ad . Dunque (importante):

TUTTI i punti di un intervallo APERTO sono “INTERNI” all’intervallo.

TUTTI i punti

di un intervallo APERTO

sono INTERNI all’intervallo

Se invece prendiamo come insieme E

l’intervallo CHIUSO  ,

ci renderemo conto che i suoi punti

“INTERNI”

nel senso della definizione da noi posta

sono tutti quelli

STRETTAMENTE COMPRESI fra a e b,

ossia sono i punti

che costituiscono l’intervallo aperto .

Invece gli estremi a, b

NON sono punti “interni” all’insieme .

Questa volta si considera l’ intervallo CHIUSO .

Comunque piccolo prendiamo il raggio dell’intorno di centro a,

una parte dell’intorno scapperà fuori dall’intervallo.

Non esiste nessun intorno completo di a

che sia interamente incluso nell’intervallo .

Quindi il punto a NON è interno all’intervallo considerato.

E analogamente per b. Invece tutti gli altri punti

 dell’intervallo sono “INTERNI” ad esso.

Consideriamo l’insieme

Constatiamo che NESSUN punto di  è “interno”.

Consideriamo invece il COMPLEMENTARE (rispetto a  ) dell’insieme : TUTTI i suoi punti sono “interni”.

Come è ben noto, tra due QUALSIASI punti dell’asse reale,

cadono infiniti punti ad ascissa irrazionale e infiniti punti ad ascissa razionale. Pertanto

nessun punto dell’insieme  è “interno” a , e nessun punto dell’insieme  è “interno” a  .

Sia E un insieme numerico.

q       Il punto , non appartenente a E, si dice ESTERNO ad E se e solo se

esiste un intorno completo di , privo di intersezione con E.

Un punto è perciò esterno ad E se e solo se è interno al complementare di E, cioè all’insieme .

q       Il punto  (appartenente o non appartenente ad E) si dice DI FRONTIERA per E se e solo se

qualsiasi intorno completo di   interseca tanto l’insieme E quanto il suo complementare.

Se , i punti interni di E sono tutti i punti di ;

i punti esterni ad E sono tutti i punti di ; i punti di frontiera di E sono il punto a e il punto b.

Consideriamo l’insieme .

F non ha punti interni. I punti esterni di F sono tutti i punti che non appartengono a F, tranne il punto 0.

L’insieme dei punti di frontiera di F è .

L’insieme  dei numeri razionali non ha né punti interni, né punti esterni.

Tutti i numeri reali sono punti di frontiera per .