7.  INSIEMI APERTI, INSIEMI CHIUSI, INSIEMI NE’ APERTI NE’ CHIUSI

Sia E un insieme numerico, sia cioè .

q       Si dice che E è un insieme “APERTO” se tutti i suoi punti sono interni.

Esempi

·      Ogni intervallo aperto  (dove l’aggettivo “aperto” è usato qui per indicare “privato degli estremi”)

     è anche un insieme “aperto” nel senso della definizione appena posta.

 Infatti abbiamo osservato in precedenza che ogni punto di un intervallo aperto  è interno ad .

·      Invece  un intervallo chiuso  (qui l’aggettivo “chiuso” è usato per indicare “estremi inclusi”)

     NON è un insieme “aperto”, nel senso sopra specificato, perché non tutti i suoi punti sono interni:

     infatti, a e b non lo sono.

·      Il complementare rispetto a  dell’insieme  degli interi relativi è un insieme aperto

In matematica, oltre che di insiemi “aperti”, si parla anche di insiemi “chiusi”.

“Chiuso”, però, in questa accezione, NON è il contrario di “aperto”!!!

Si pone infatti la seguente definizione:

q       Un insieme  si dice “CHIUSO” se

non ha punti di accumulazione, oppure, nel caso ne abbia, questi appartengono tutti all’insieme stesso

Esempi

·      Ogni intervallo chiuso  (dove l’aggettivo “chiuso” è usato qui per indicare “estremi inclusi”)

        è anche un insieme “chiuso” nel senso della definizione appena posta.

        Infatti i punti di accumulazione di  sono per l’appunto tutti e soli i punti di  

·      Invece l’intervallo aperto  (l’aggettivo “aperto” è qui usato nel senso di “privato degli estremi”)

        NON è un insieme “chiuso” nel senso sopra precisato, perché ammette come punti di accumulazione

        anche gli estremi a, b, che non appartengono all’intervallo.

·       

     non è chiuso, perché non contiene quello che è il suo unico punto di accumulazione, ossia il punto 0;

     e non è nemmeno aperto, come abbiamo visto in precedenza.

·       è un insieme chiuso.

        L’unico suo punto di accumulazione (il punto 0) appartiene infatti all’insieme.

·      L’insieme dei numeri Naturali  è chiuso perché non ha punti di accumulazione.

L’esempio dell’insieme F mostra che esistono insiemi che non sono né “aperti” né “chiusi”;

d’altronde, un intervallo con un estremo incluso e l’altro escluso, come , non è né “aperto” né “chiuso”.

L’insieme  e l’insieme vuoto sono gli unici due sottoinsiemi di  

aventi la proprietà di essere, simultaneamente, sia “aperti” che “chiusi”.

Si potrebbe dimostrare il seguente TEOREMA:

un sottoinsieme di  è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto.

8.  ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE,

     MASSIMO E MINIMO (RELATIVI O ASSOLUTI) DI UNA FUNZIONE

q       Estremo superiore, estremo inferiore di una funzione su di un insieme

Massimo e minimo assoluti di una funzione su di un insieme

Data una funzione , detto D il suo dominio, e indicato con E un sottoinsieme di D (  ),

quando parliamo di “ESTREMO SUPERIORE (risp.: INFERIORE) DELLA  SULL’INSIEME E”,

intendiamo riferirci all’estremo superiore (risp.: inferiore) dell’insieme ,

dove il simbolo  indica l’insieme delle immagini dei punti di E attraverso la  

(in altre parole: l’insieme dei valori assunti dalla , al variare di x in E).

Dunque:

 = ESTREMO SUPERIORE della funzione  sull’insieme  

 = ESTREMO INFERIORE della funzione  sull’insieme  

Quando diciamo semplicemente “ l’estremo superiore (risp. inferiore) della  ” ,

sottintendiamo di prendere ,

cioè sottintendiamo che l’insieme di riferimento sia l’intero dominio della funzione.

Analogamente, si dirà “MASSIMO (risp.: MINIMO) DELLA  IN E,

il massimo (risp.: il minimo), QUALORA ESISTA, dell’insieme .

Si preferisce, tuttavia, parlare di “MASSIMO ASSOLUTO” (risp.: “MINIMO ASSOLUTO”)

per evitare possibili equivoci con la locuzione “massimo relativo” (risp. “minimo relativo”),

che ha un altro significato di cui ci occuperemo successivamente.

Se si scrive “ massimo (risp.: minimo) assoluto per la funzione  ”,

senza citare un particolare insieme,

si intende che l’insieme di riferimento sia l’intero dominio della  (ossia:  ).

E’ importante l’osservazione seguente:

affermare che una funzione  ammette come massimo assoluto, su di un insieme E, un certo numero M,

comporta che ;

infatti, il massimo di un insieme è l’estremo superiore dell’insieme,

QUALORA QUESTO SIA FINITO ED APPARTENGA ALL’INSIEME.

Ma se , ciò significa che M è immagine, attraverso la , di almeno un punto di E,

cioè che M è un valore che viene EFFETTIVAMENTE ASSUNTO dalla ,

in corrispondenza di un certo  appartenente ad E.

In definitiva, possiamo scrivere che

 è il massimo assoluto di  sull’insieme  

Riguardo all’ascissa  che “genera” il massimo assoluto, essa viene detta

“punto di massimo assoluto per la  su E”.

Insomma:

♪       “MASSIMO ASSOLUTO” è un’ORDINATA,

♫     “PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO” è l’ASCISSA a cui corrisponde quell’ordinata

(tale ascissa può eventualmente non essere unica).

Analogamente per il minimo:

affermare che una funzione  ammette come minimo assoluto, su di un insieme E, un certo numero m,

comporta che ;

infatti, il minimo di un insieme è l’estremo inferiore dell’insieme,

QUALORA QUESTO SIA FINITO ED APPARTENGA ALL’INSIEME.

Ma se , ciò significa che m è immagine, attraverso la , di almeno un punto di E,

cioè che m è un valore che viene EFFETTIVAMENTE ASSUNTO dalla ,

in corrispondenza di un certo  appartenente ad E.

In definitiva, possiamo scrivere che

m è il minimo assoluto di  su  

Riguardo all’ascissa  che “genera” il minimo assoluto, essa viene detta

“punto di minimo assoluto per la  su E”.

Insomma: “minimo assoluto” è un’ordinata, “punto di minimo assoluto” è l’ascissa

a cui corrisponde quell’ordinata (tale ascissa può eventualmente non essere unica).

Una funzione  ammette sempre, su di un dato insieme E, estremo superiore e inferiore

(eventualmente infiniti), ma potrebbe non ammettere massimo assoluto e/o minimo assoluto.

Gli esempi successivi dovrebbero chiarire bene quanto detto.

Nella figura qui a fianco,

 è il massimo assoluto

per la funzione rappresentata,

sull’insieme .

 è il punto di massimo assoluto.

 è il minimo assoluto della  su .

 è il punto di minimo assoluto.

La funzione

rappresentata nella figura qui a fianco

ammette massimo assoluto sul suo dominio : .

Il punto di massimo assoluto è quindi l’ascissa .

Invece questa funzione

non ammette minimo assoluto nel suo dominio:

il suo estremo inferiore è 0,

che però non è un valore assunto dalla funzione,

quindi non ne è il minimo.

I valori assunti dalla funzione costituiscono

l’intervallo semiaperto : .

La funzione

ha come grafico una “parabola col buco”.

L’insieme dei valori assunti dalla funzione sul suo dominio

è l’intervallo .

Abbiamo

,

e la funzione non ammette né massimo assoluto,

né minimo assoluto, sul suo dominio.

Invece la stessa funzione :

q    sull’insieme  ha

come massimo 3 e come minimo 0;

q    sull’insieme  ha

come estremo superiore 3 (ma non ha massimo),

e come minimo 0;

q    sull’insieme  ha

come estremo superiore 4 (ma non ha massimo),

e come minimo 3;

q    sull’insieme  ha

come estremo superiore 4 (ma non ha massimo),

e come minimo 1.

q       Massimi e minimi relativi di una funzione

Passiamo ora a descrivere cosa si intende per “punto di massimo (risp.: minimo) RELATIVO”,

di una funzione .

ü      Si dice che il valore  è un "massimo (minimo) relativo" per la funzione . Dunque:

quando si dice "PUNTO DI MASSIMO (MINIMO) relativo" si intende parlare di un'ASCISSA,

mentre quando si dice "MASSIMO (MINIMO) relativo" ci si riferisce ad un'ORDINATA.

Nella figura qui a fianco,

 e  sono punti di massimo relativo,

e  è anche il punto di massimo assoluto.

I massimi relativi sono  e ;

quest’ultima ordinata costituisce anche

il massimo assoluto.

I punti di minimo relativo sono  e ;

i minimi relativi sono  e .

Non esiste un punto di minimo assoluto

per la funzione rappresentata in figura:

si ha soltanto un "estremo inferiore",

che è poi, con espressione grossolana,       

l’ordinata del “buco ”

che si ha in corrispondenza dell’ascissa a.

La funzione proposta come esempio

non è definita con ,

dove abbiamo un “buco” .

La funzione  ammette infiniti punti di massimo relativo:  tutte le ascisse

.

I corrispondenti massimi relativi valgono tutti 1.

Ammette anche infiniti punti di minimo relativo: le ascisse

.

I corrispondenti minimi relativi valgono tutti –1.

Il massimo assoluto della funzione sul suo dominio è 1 (e viene assunto infinite volte!).

Il minimo assoluto è , che viene assunto infinite volte.

La funzione  ,  raffigurata qui a fianco,

non ammette né massimo assoluto, né minimo assoluto

(ammette come estremo superiore  e come estremo inferiore  ),

ma ammette un massimo relativo e un minimo relativo.

Si dimostra che:

il punto di massimo relativo è  (il massimo relativo è  );

il punto di minimo relativo è  (il minimo relativo è

Potremmo dire che

“massimo relativo” e “minimo relativo” sono concetti di carattere “LOCALE”,

mentre “massimo assoluto” e “minimo assoluto” sono concetti di carattere “GLOBALE”.