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Definizione - Si ha una funzione quando si hanno due grandezze variabili, legate fra loro in modo che ad ogni valore di una di esse (variabile indipendente) corrisponde UNO E UN SOLO valore dell’altra (variabile dipendente).
Di norma, la variabile indipendente si indica con la lettera x, e la variabile dipendente con y, ma ciò non è assolutamente “obbligatorio”. Esempi di funzione: ;
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La scrittura si legge “ uguale di ” e significa:
“ho una funzione, che ho indicato col simbolo , nella quale la variabile indipendente è stata indicata col simbolo e la dipendente con ”.
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Nella accezione più generale, la variabile indipendente e la dipendente potrebbero assumere i loro valori in due insiemi (“insieme di partenza” per la x e “insieme di arrivo” per la y) qualsiasi, ma noi nel seguito ci occuperemo esclusivamente di funzioni “reali di variabile reale”, oppure di “successioni”.
Una funzione si dice “reale di variabile reale” se il suo insieme di partenza e quello di arrivo sono entrambi .
Osserviamo che il primo aggettivo “reale” (quello riferito al sostantivo “funzione”) ha il ruolo di affermare che l’insieme di arrivo è (infatti sovente si usa dire “funzione” quando a stretto rigore si dovrebbe dire “variabile dipendente”), mentre il secondo aggettivo “reale” (quello riferito al sostantivo “variabile”, che sta qui per “variabile indipendente”) è impiegato per dire che l’insieme di partenza è .
Una successione è una funzione il cui insieme di partenza è l’insieme dei numeri naturali. Noi qui ci occuperemo esclusivamente di successioni “reali”, cioè il cui insieme di arrivo sia . |
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Si dice “dominio” (D) o “campo di esistenza” (C.E.) di una funzione, l’insieme dei valori che è possibile attribuire alla variabile indipendente, affinché esista il corrispondente valore della variabile dipendente.
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Esempi
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Funzione |
Dominio |
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Occorre dunque un PICCOLO RITOCCO ALLA NOSTRA DEFINIZIONE. Avevamo iniziato il discorso affermando che
« si ha una FUNZIONE quando ci sono due grandezze variabili, legate fra loro in modo che ad OGNI valore di una di esse (variabile indipendente) corrisponde UNO E UN SOLO valore dell’altra (variabile dipendente) ».
Ma più precisamente, QUELL’ “OGNI” VA INTERPRETATO.
Si deve intendere « AD OGNI VALORE DELLA VARIABILE INDIPENDENTE … … PRESO DA UN OPPORTUNO INSIEME DI RIFERIMENTO (il “dominio”, appunto) ».
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A volte, poi, per determinare il “dominio” di una funzione, occorre badare, oltre che al puro aspetto del calcolo, anche a considerazioni di carattere “contestuale”. Prendiamo ad esempio la funzione legata al volume della sfera. Dal punto di vista della pura Algebra, alla lettera r potremmo assegnare anche valori <0; ma dal punto di vista dell’interpretazione geometrica, questi non avrebbero senso e dunque è più corretto dire che il dominio di questa funzione è l’insieme dei valori di r maggiori di 0 (o , se si accetta l’idea di una sfera di raggio 0, che si ridurrebbe ad un punto, e avrebbe volume nullo). |
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IN DEFINITIVA, per “DOMINIO” di una funzione si intenderà
1) l’insieme dei valori che è possibile attribuire alla variabile indipendente, affinché esista il corrispondente valore della variabile dipendente …
2) … o in certi casi un insieme più “ristretto” di questo, quando q intervengano ulteriori limitazioni legate al contesto nel quale la funzione viene applicata q oppure si intenda comunque per qualsiasi motivo ridurre il campo entro cui si suppone varii la x.
Se non si danno ulteriori esplicite specificazioni, si intende sempre la parola “dominio” nel significato 1). |
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q Una funzione si dice "INIETTIVA" se a valori distinti di x corrispondono sempre valori distinti di y
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o anche, in modo equivalente: ·
q Una funzione si dice "SURIETTIVA" se ogni valore di y è il corrispondente di almeno un valore di x
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GRAFICAMENTE, è ben facile riconoscere se una funzione è iniettiva o è suriettiva!
q INIETTIVA: NESSUNA retta orizzontale interseca il grafico PIÙ DI UNA volta;
q SURIETTIVA: QUALSIASI retta orizzontale interseca il grafico ALMENO UNA volta.
Evidentemente, per amore di brevità ci prendiamo la licenza di scrivere “orizzontale” in luogo di “parallela all’asse x ”, “verticale” anziché “parallela all’asse y ”
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Ad esempio, la funzione non è iniettiva (esistono rette orizzontali, come la r in figura, che intersecano il grafico più di una volta) e non è neppure suriettiva (esistono rette orizzontali, come la r’ in figura, che non intersecano mai il grafico) …
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… invece la funzione è sia iniettiva che suriettiva … |
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… e, infine, la funzione è iniettiva ma non suriettiva. |
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