APPROSSIMAZIONI, ERRORI, INCERTEZZE
1. PERCHE’, E COME, APPROSSIMARE
q Un numero con tante cifre è “ingombrante”, scomodo da maneggiare, e soprattutto
può darsi che le sue cifre meno “pesanti”, vale a dire quelle più a destra, siano trascurabili
per il grado di precisione che è sensato perseguire in un determinato contesto,
o che è concretamente possibile ottenere (ad esempio, una macchinetta calcolatrice
può gestire solo un numero limitato di cifre dopo la virgola).
q Può anche avvenire che il vero valore di un numero sia sconosciuto,
ma sia invece noto un valore che si sa non differire molto da esso.
Si rende quindi sovente
opportuno o necessario “approssimare” un numero ,
sostituendolo con un altro
numero, vicino ad ,
le cui ultime cifre a destra siano tutte 0.
Tale approssimazione può essere effettuata in due modi:
A) per “troncamento”, se semplicemente tutte le cifre a destra di una cifra fissata
vengono sostituite con degli 0: ad esempio
·
il troncamento del numero alla cifra delle migliaia è
·
il troncamento del numero alla cifra dei decimi è
·
il troncamento del numero alla cifra dei decimi è ancora
[è evidente che il troncamento di un numero assoluto (=senza segno) porta sempre ad una approssimazione
per difetto, ossia alla sostituzione di quel numero con un altro che è minore di quello originario]
B) oppure per “arrotondamento”, che possiamo pensare come la sostituzione del numero
con un altro che gli sia (per difetto o per eccesso) il più possibile vicino. Ad esempio,
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l’arrotondamento del numero alle migliaia è il multiplo di 1000 più vicino, ossia
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l’arrotondamento di ai decimi è il numero con 1 cifra dopo la virgola (=quella dei decimi) più vicino, ossia
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l’arrotondamento del numero ai decimi è il numero con 1 cifra dopo la virgola (=quella dei decimi) più vicino, ossia
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♪ se la prima cifra da trasformare in “0” è 0, 1, 2, 3 o 4,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente resta invariata;
♫ se invece la prima cifra da trasformare in “0” è 5 (ma vedi NOTA), 6, 7, 8 o 9,
allora nell’arrotondamento la cifra precedente viene aumentata di un’unità.
Altri esempi: l’arrotondamento di 54321 alle decine è 54320; quello di 0,23701 ai centesimi è 0,24
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NOTA:
l’arrotondamento “
Se la prima cifra da mutare in “0” è 5, e tale cifra è l’ultima del numero, oppure è seguita solo da “zeri”, allora il passaggio al “valore più vicino” potrebbe essere fatto indifferentemente per difetto o per eccesso, perché ad esempio il numero 1,235 ha la stessa distanza sia da 1,23 che da 1,24; tuttavia, nel caso in cui i numeri da sottoporre ad arrotondamento siano tanti, come può accadere quando si sta manipolando un gruppo di dati sperimentali, si tende a procedere in modo un poco diverso, ossia: se la cifra che precede il 5 è pari, la si lascia invariata, mentre se è dispari, la si aumenta di un’unità. In tal modo le approssimazioni per difetto e per eccesso così effettuate tenderanno a “bilanciarsi”(sui valori arrotondati secondo questa convenzione, metà circa lo saranno per difetto e l’altra metàper eccesso), e l’insieme di dati risentirà il meno possibile, globalmente, delle modifiche apportate.Per esempio, volendo arrotondare ai centesimi 3,875 3,645 3,735 3,865 si scriverà rispettivamente 3,88 3,64 3,74 3,86
Col “banker’s rounding”, l’ultima cifra del numero arrotondato sarà sempre pari! (even = pari)
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ESEMPIO RIASSUNTIVO
1845,74893 diventa, se è richiesto di
· arrotondare alle migliaia: 2000 · arrotondare alle centinaia: 1800 · arrotondare alle decine: 1850 · troncare alle decine: 1840 · arrotondare alle unità: 1846 · arrotondare ai decimi: 1845,7 · arrotondare ai centesimi: 1845,75 · arrotondare ai millesimi: 1845,749 · troncare ai millesimi: 1845,748 · …
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ARROTONDAMENTO “NORMALE” O “DEL BANCHIERE” ???
Sta a noi decidere, a seconda delle nostre esigenze, quale applicare!
0,725 arrotondato ai centesimi diventa:
0,73 se decidiamo per un arrotondamento “normale”, perché in questo caso la regola ci dice che se la prima cifra da mutare in 0 è 5, allora la cifra precedente va aumentata di un’unità;
0,72 se decidiamo di fare l’arrotondamento “del banchiere”, perché in questo caso la cifra che precede il 5, essendo pari, deve rimanere inalterata.
Abbiamo già detto che si preferisce l’ “arrotondamento del banchiere” di fronte ad un numero consistente di dati statistici.
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OSSERVAZIONI: E’ SEMPRE OPPORTUNO ESPRIMERSI CON LA DOVUTA CHIAREZZA!
1) La parola “arrotondamento” è a volte impropriamente adoperata per indicare
sia un’approssimazione di tipo A) che un’approssimazione di tipo B).
Ma è molto meglio essere accurati nella terminologia usata, e riservare il termine “arrotondamento”
soltanto a un’approssimazione di tipo “B”, ossia alla “scelta del numero più vicino”,
denominando invece “troncamento” un’approssimazione di tipo “A”.
2) Capita di sentire in giro delle espressioni verbali ambigue e dunque non appropriate.
Ad esempio, di fronte alla frase “arrotondare un numero a 2 cifre”, come ci si dovrà comportare?
Si tratterà di “arrotondare in modo che rimangano due cifre soltanto in totale”,
oppure di “arrotondare il numero in modo da conservare solo due cifre dopo la virgola”?
Per evitare equivoci, bisognerebbe comunicare in modo più preciso, quindi dire, a seconda dei casi,
· “arrotondare il numero a 2 cifre significative”
(per un discorso esauriente sulle “cifre significative” vedi Volume 3, Statistica, paragrafo 12)
oppure
·
“arrotondare il numero alla cifra dei centesimi, o alla cifra dopo la virgola ”.
Ad esempio, prendiamo il numero 1,4723:
· “arrotondarlo a due cifre significative” significa approssimarlo con 1,5
· “arrotondarlo a due cifre dopo la virgola”, o “arrotondarlo ai centesimi”,
significa approssimarlo con 1,47.
E’ sempre meglio dire o scrivere qualche parola in più, ed evitare l’ambiguità,
piuttosto che essere troppo sintetici e lasciare spazio ai dubbi!
Non seguiamo il cattivo esempio dei giornali e della televisione, per carità!!!
3) Ancora:
consideriamo il numero, scritto in notazione esponenziale, .
Scrivere che
il suo “arrotondamento ai decimi” è non ha molto senso,
perché il
coefficiente iniziale 3,425 è moltiplicato per
quindi la sua cifra delle unità (che è 3) indica in realtà dei “milionesimi”,
e la sua prima cifra dopo la virgola (che è 4) indica in realtà dei “decimilionesimi”.
Molto meglio, allora, dire che
·
è l’ “arrotondamento di
a due cifre significative”
oppure
·
è l’ “approssimazione di
ottenuta
arrotondando il coefficiente alla prima cifra dopo la virgola ”.
2. L’ ERRORE (“ERRORE ASSOLUTO”) NELL’APPROSSIMAZIONE
Quando noi passiamo da un numero a una sua approssimazione, per “troncamento” o per “arrotondamento”,
commettiamo un “errore”, nel senso che il nuovo numero non è più quello “vero”;
tuttavia, di questo errore noi siamo in grado di dare con facilità una “maggiorazione”,
cioè un confine al di sopra del quale l’errore non potrà comunque andare, e precisamente
q nel caso del “troncamento” sappiamo che l’errore sarà sempre minore della grandezza
che corrisponde all’ultima cifra del nuovo numero ottenuto
q e nel caso dell’arrotondamento è sempre minore o uguale alla metà di questa grandezza.
Spieghiamoci meglio con qualche esempio.
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Se tronchiamo ai centesimi il numero otteniamo
la cui differenza in valore assoluto (“errore”) dal vero valore è inferiore a un centesimo |
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Se arrotondiamo ai centesimi lo stesso numero otteniamo la cui differenza (“errore”) dal vero valore è inferiore alla metà di un centesimo
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Se arrotondiamo alle unità il numero otteniamo la cui differenza (“errore”) dal vero valore è inferiore alla metà di una unità |
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Se arrotondiamo alle migliaia il numero a seconda che applichiamo l’arrotondamento “normale” oppure quello “del banchiere”; ma in entrambi i casi, la differenza fra l’approssimazione e il vero valore (cioè, l’ “errore”) è uguale alla metà di un migliaio. |
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Insomma, detto il numero da approssimare, e detti:
T il suo troncamento, A il suo arrotondamento
riferiti alla “cifra di posto n”,
dove intendiamo, ad esempio, che
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♪ “cifra di posto 3” = cifra delle migliaia ♪ “cifra di posto 2” = cifra delle centinaia ♪ “cifra di posto 1” = cifra delle decine |
♪ “cifra di posto 0” = cifra delle unità ♪ “cifra di posto −1” = cifra dei decimi ♪ “cifra di posto −2” = cifra dei centesimi |
avremo:
qnel caso del troncamento,
qnel caso dell’arrotondamento,
(in relazione all’arrotondamento, abbiamo messo il simbolo di valore assoluto perché,
dato che l’arrotondamento può avvenire a seconda dei casi per difetto ma anche per eccesso,
quando
l’arrotondamento è per eccesso non bisogna fare ma
;
oppure, si può fare
anche in
questo caso ,
ma poi bisogna mutare in positivo il numero negativo così ottenuto;
e tutto
questo equivale, appunto, a fare ).
3. L’ “ERRORE RELATIVO” NELL’ APPROSSIMAZIONE
Se noi arrotondiamo alle decine l’età di una persona,
certamente l’errore di approssimazione potrà essere rilevante, specie se la persona è giovane!
Se invece arrotondiamo alle decine l’altezza in metri di una montagna,
è ovvio che comunque l’errore sarà trascurabile.
E’ perciò spesso conveniente, oltre o alternativamente all’errore “assoluto” visto precedentemente,
considerare il cosiddetto “errore relativo”,
il quale non è altro che il quoziente ( = il rapporto) fra l’errore assoluto e il numero considerato
(che per una serie di ragioni si intende di prendere nella sua versione approssimata). Vale a dire:
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NOTA - Se questa frazione risultasse <0, la si prenderà in valore assoluto |
da cui:
Ad esempio, se l’età di una ragazza 23enne viene arrotondata a 20 anni,
si commette un errore relativo uguale a 3/20, cioè uguale a 0,15 o anche uguale al 15%,
mentre se l’altezza di una montagna himalayana di 7576 metri viene arrotondata a 7580 metri,
l’errore relativo sarà uguale a 4/7580 = 0,0005… ossia sarà circa dello 0,05%.
A proposito di errore relativo espresso come percentuale, avremo
A ben guardare, è raro che sia noto l’errore:
è più facile invece che sia nota una sua maggiorazione,
cioè che l’informazione di cui si dispone sia:
“al massimo, l’errore potrà valere tot, non di più”.
Quel “tot” è allora l’INCERTEZZA del nostro dato.
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Cos’è dunque l’ INCERTEZZA? E’ Se sappiamo
che l’errore è (in valore assoluto)
Se il valore
approssimato è non sappiamo dove si trovi tale vero valore, ma esso
apparterrà all’intervallo
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La questione si presenta sempre nelle scienze sperimentali,
quando si effettua la misurazione di una qualsiasi grandezza fisica.
Allora il vero valore (NOTA) della quantità da misurare è pressoché impossibile da cogliere: intervengono
infatti inevitabili circostanze per le quali la misura rilevata è affetta, rispetto alla vera misura, da un errore.
In generale si fanno diverse misurazioni, e si conclude, alla fine,
● NON che il valore di quella grandezza sia un dato numero x,
● BENSI’ che tale valore sia compreso (sicuramente, o - almeno - con una determinata probabilità)
fra e
,
essendo
un determinato numero positivo.
Il vero valore non è stato individuato esattamente, ma
è stato stimato in x con una INCERTEZZA di .
NOTA - Ammesso che un “vero valore” esista: qui non approfondiamo il discorso, lasciandolo alle scienze applicate
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OCCHIO!!!
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In parecchi libri di testo, ad es. di Fisica ma anche di Matematica, viene sbrigativamente e impropriamente chiamato ERRORE … … ciò che in realtà dovrebbe essere denominato INCERTEZZA o, al più, “ERRORE MASSIMO POSSIBILE”.
Ti avverto, perché ciò può essere fonte di una ben giustificata difficoltà di lettura!!!
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Si ha poi
6. LA “PROPAGAZIONE” DEGLI ERRORI, O MEGLIO: DELLE “INCERTEZZE”
A tal proposito, diciamo soltanto un paio di cose, senza affrontare l’aspetto dimostrativo.
Come premessa, ribadiamo con forza i concetti preliminari.
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Cos’è l’
ERRORE? E’ APPROSSIMATO, O IL VALORE RICAVATO DA UNA MISURA, E IL VALORE VERO.
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Cos’è l’
INCERTEZZA? E’ Se sappiamo
che l’errore è (in valore assoluto)
Se il valore
approssimato è non sappiamo dove si trovi tale vero valore, ma esso
apparterrà all’intervallo
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Insistiamo (sigh!): in parecchi libri di testo viene sbrigativamente e impropriamente chiamato ERRORE … … ciò che in realtà dovrebbe essere denominato INCERTEZZA o, al più, “ERRORE MASSIMO POSSIBILE”.
E ciò può essere fonte di una ben giustificata difficoltà di lettura!!!
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OCCHIO!!!
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Siano due grandezze, e sia
una terza grandezza che derivi da
un’operazione aritmetica su
.
Allora:
q L' incertezza della SOMMA
è la somma delle incertezze da cui sono affetti gli
addendi:
Di solito
questa regola viene enunciata impropriamente così :
L’errore della somma è uguale alla somma degli errori degli addendi
Il simbolo
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q La stessa identica regola
vale per la differenza: l' incertezza della DIFFERENZA
è la somma delle incertezze da cui sono affetti i
termini:
q L’incertezza del PRODOTTO DI UN NUMERO COSTANTE
PER UNA GRANDEZZA
è il prodotto del numero fisso per l’incertezza della grandezza:
q L' incertezza
relativa (OCCHIO! RELATIVA, questa volta, non assoluta!) del PRODOTTO
è la somma delle incertezze
relative dei fattori:
Di solito
questa regola viene enunciata impropriamente così :
L'errore relativo del prodotto è la somma degli errori relativi dei fattori
q Del tutto analoga a quella sul prodotto, e come essa basata sulle incertezze relative,
è la regola per il QUOZIENTE :
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q Per la POTENZA
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(valida anche se n è frazionario, ossia con le radici: tieni presente che, ad es., |
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ESERCIZIO SVOLTO Se il valore approssimato di un numero
Se il valore approssimato di un numero
Se il valore approssimato di un numero quindi l’incertezza relativa percentuale è del 10%, si avrà
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