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10. ESERCIZI
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A) ESERCIZI SULLA DIVISIBILITA’ E SUI NUMERI PRIMI (risposte a pag. 23)
1) VERO O FALSO?
Se (essendo
tre interi non nulli), allora
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a) n è multiplo di p |
V |
F |
e) p è divisibile per n |
V |
F |
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b) sia m che n sono divisori di p |
V |
F |
f) n è divisore di p |
V |
F |
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c) p è multiplo di n |
V |
F |
g) |
V |
F |
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d) n è divisibile per p |
V |
F |
h) |
V |
F |
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i) Se a è divisibile per b, allora è divisibile anche per tutti i divisori di b |
V |
F |
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l) Se un numero è divisibile sia per 6 che per 8, allora è certamente divisibile per 48 |
V |
F |
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m) Se un numero è divisibile sia per a che per b, allora è divisibile per m.c.m.(a, b) |
V |
F |
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n) Qualunque sia l’intero k,
il numero |
V |
F |
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o) Se un intero è divisibile per 2 e la sua metà è divisibile per 4, allora quell’intero è divisibile per 8 |
V |
F |
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2) VERO O FALSO?
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a) |
V |
F |
e) |
V |
F |
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b) |
V |
F |
f) Se |
V |
F |
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c) |
V |
F |
g) Sapendo
che |
V |
F |
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d) |
V |
F |
h) Se |
V |
F |
3) Per ciascuno degli interi che seguono, stabilisci se è divisibile per: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
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a) 378 |
b) 825 |
c) 420 |
d) 988 |
e) 14641 |
f) 84 |
g) 5929 |
h) 437 |
i) 318 |
l) 1000001 |
4) L’insegnante dice a Pierino di indicare che la somma fra due numeri x, y dev’essere moltiplicata per z …
… e quando
Pierino scrive ,
ha una smorfia di delusione. Perché?
5) Elenca i divisori propri di: 126; 127; 128; 129; 130
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6) Il “Crivello di Eratostene”
Un modo molto semplice per ricavare l’elenco dei numeri primi non superiori ad un dato intero n è il seguente: si scrivono gli interi da 2 a n, poi dallo schema · si cancellano tutti i multipli di 2 (escluso il 2); · si cerca il 1° n° successivo al 2 non ancora cancellato, ossia il 3, e se ne cancellano tutti i multipli (escluso il 3); · si cerca il 1° n° successivo al 3 non ancora cancellato, ossia il 5, e se ne cancellano tutti i multipli (escluso il 5); · si cerca il 1° n° successivo al 5 non ancora cancellato, e se ne cancellano tutti i multipli (escluso il num. stesso); · …
Ciò che resta al termine del procedimento è l’elenco dei numeri primi cercato.
Serviti di questo metodo e dello schema che segue, per determinare i numeri primi non superiori a 125:
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7) Supponiamo di prendere un intero n con l’intenzione di verificare se è primo o se non lo è.
E supponiamo di constatare che:
2 non è
divisore di n; 3 non è divisore di n; 5 non lo è; … nessun numero primo è divisore di n.
Allora ti dico che sarebbe inutile continuare:
n,
se non ha divisori primi della sua radice quadrata, è certamente un numero primo!
… Sapresti giustificare questa affermazione?
Indicazione: l’affermazione si giustifica osservando che se un intero a ha un divisore proprio b maggiore
della sua
radice quadrata, allora ammette di certo anche un altro divisore proprio, ossia
…, minore di ;
quindi, se
non si è trovato nessun divisore proprio di n
che sia ,
…
La ricerca dei divisori di n si può poi limitare ai soli divisori primi, perché se un intero ha un divisore proprio
k non primo, certamente ha anche uno o più divisori primi inferiori a k.
Ad esempio, per concludere che 97 è un numero primo basta aver verificato che non è divisibile per nessuno
dei numeri
2, 3, 5, 7. Infatti, il tentativo successivo sarebbe teoricamente per 11, ma 11
supera già
8) VERO O FALSO?
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a) 71, 91 sono entrambi primi |
V |
F |
c) Due numeri entrambi primi sono anche primi fra loro |
V |
F |
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b) 71, 91 sono primi fra loro |
V |
F |
d) Se a è primo con b e b è primo con c, a sarà primo con c |
V |
F |
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e) Il numero 0 è pari |
V |
F |
f) Il numero 0 è primo |
V |
F |
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g) Il numero 1 è dispari |
V |
F |
h) Il numero 1 è primo |
V |
F |
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i) 1 divide ogni numero |
V |
F |
l) 0 divide ogni numero |
V |
F |
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9) I seguenti problemi hanno a che fare con minimo comune multiplo e massimo comun divisore:
a) Nella dispensa di un asilo sono rimasti 60 cioccolatini, 72 biscotti e 24 piccole crostate.
Si decide di “far fuori” questo materiale, prossimo alla scadenza, distribuendo ai bambini più meritevoli
un “kit” formato da x crostatine + y cioccolatini + z biscotti (tutti i “kit” dovranno essere fra loro identici),
e ci si chiede: quale sarà il massimo numero di kit realizzabili in tale modo?
b) Una cometa periodica si presenta a distanza di esattamente 56 anni, e un’altra a distanza di 48 anni precisi.
Se quest’anno le due comete si son mostrate simultaneamente, fra quanti anni l’evento accadrà di nuovo?
c) Se ci sono tre funi di lunghezza 126, 168 e 140 cm, e si desidera tagliarle in modo da ottenere
il numero più piccolo possibile di pezzi di ugual lunghezza (senza buttar via alcun pezzo di corda),
quale sarà questo numero minimo?
d) Anna e Bruno sono due pazientissimi operatori in un call center. Hanno a disposizione lo stesso
interminabile elenco di numeri telefonici fra cui scegliere quelli da comporre, e Anna ha deciso
di selezionare una persona ogni 12, mentre Bruno intende prendere un nominativo ogni 20.
Se in questo modo la persona al posto dell’elenco viene interpellata sia da Anna che
da Bruno,
anche la persona al posto sarà contattata 2 volte … Quanto vale, al
minimo,
?
e) Se si sa che il mcm e il MCD di due numeri valgono, rispettivamente, 72 e 6,
ma i due numeri in gioco NON sono 72 e 6, di che numeri si tratta?
f) Rebecca has 20 table tennis balls and 16 table tennis paddles.
She wants to sell packages of balls and paddles bundled together.
What is the greatest number of packages she can sell with no leftover balls or paddles?
(dal sito http://tulyn.com)
g) Ho guarnito il mio albero di Natale con 4 festoni luminosi.
Nei festoni, le lampadine mandano un lampo di luce a intervalli di: 5, 6, 8 e 10 secondi rispettivamente.
Se alle ore 23 in punto hanno emesso la loro luce simultaneamente,
quante altre volte accadrà la stessa cosa entro le 24?
h) Si vuole lastricare un rettangolo di cortile di metri 3,90 X 2,34, utilizzando piastre di porfido quadrate,
il cui lato sia di lunghezza (in cm) intera, e il più lungo possibile.
Quanti misurerebbe la superficie occupata da ciascuna
piastra?
i) Una bicicletta per bambini ha la ruota anteriore di raggio 20 cm, e quella posteriore di raggio 12 cm.
Se ad un certo istante la valvola per gonfiare le ruote si trova, in entrambe, nella stessa posizione
(ad es., in alto), dopo quanti giri della ruota più grande si verificherà nuovamente la stessa situazione?
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10) Divisione intera, con resto
Specialmente in Informatica, ma anche in Matematica, si utilizzano due “operatori” specifici, DIV e MOD, per indicare rispettivamente il quoziente intero (DIV) e il resto (MOD) della divisione intera.
Esempi: Riempi i puntini: a) d)
g) Se si
sa che
i)
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11) Si dice “perfetto” un intero, che sia uguale alla somma dei suoi divisori, inclusa l’unità ma escluso il numero
stesso. Ad esempio, sono numeri perfetti 6=1+2+3 e 28=1+2+4+7+14. Verifica tu che anche 496 è “perfetto”.
12) Verifica, senza consultare tabelle, che fra 150 e 200 c’è un numero primo di numeri primi.
QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA (risposte a pag. 23)
Riconosci l’affermazione esatta, che è una e una sola, fra quelle proposte.
1) Posso dire con sicurezza che un numero è divisibile per 6:
a) se so che la somma delle sue cifre è divisibile per 6
b) se so che è pari, e la somma delle sue cifre è un multiplo di 9
c) se so che le ultime sue due cifre formano un numero divisibile per 6
d) in nessuno dei casi precedenti
2) Quale fra i seguenti numeri NON è multiplo sia di 4, che di 5, che di 6?
a) 1234560 b) 7654320 c) 4321000 d) 1425360
3) Se due interi a, b sono primi fra loro, allora una sola delle seguenti affermazioni è FALSA. Quale?
a) il loro M.C.D. è 1
b) il loro m.c.m. è uguale al loro prodotto
c) la frazione a/b non è semplificabile
d) almeno uno di essi deve essere un numero primo
4) Riconosci l’unica affermazione FALSA.
Se p è un numero primo, allora:
a) il successivo di p non è mai un numero primo
b) il quadrato di p ha sempre 3 divisori
c) p ha tanti divisori quanti ne ha un altro qualsiasi numero primo
5) In quanti modi il numero 10230 è esprimibile come prodotto di 4 interi, tutti diversi da 1?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
6) Il M.C.D. di tre numeri, tutti diversi fra loro, è 3. Allora certamente:
a) nessuno dei tre numeri è primo
b) almeno uno ha un divisore primo diverso da 3
c) i tre numeri sono tutti dispari
d) i tre numeri non sono tutti pari
7) Il m.c.m. di due interi è 216. Allora una delle seguenti affermazioni è FALSA. Quale?
a) I due numeri non possono essere entrambi dispari
b) I due numeri possono non essere entrambi pari
c) Uno dei due numeri deve essere multiplo di 4
d) Uno dei due numeri deve essere multiplo di 6
8) Una sola fra le seguenti terne di numeri ha per m.c.m. 72 e per M.C.D. 1. Quale?
a) 8, 9, 36 b) 3, 18, 72 c) 8, 18, 72 d) 4, 9, 18
9) Si sa che Andrea ha 5 volte gli anni di Bruno, e 3 volte gli anni di Carlo.
Se Carlo ha meno di 15 anni, quanti anni può avere, al massimo, Bruno?
a) 4 b) 5 c) 6 d) nessuna delle risposte precedenti è corretta
10) Per quale intero, al minimo, devo moltiplicare il numero 91,
se voglio che il risultato della moltiplicazione sia un multiplo di 98?
a) 7 b) 14 c) 28 d) 49
11) Un intero a, quando viene diviso per 24, dà come resto 5.
Se b è il più piccolo multiplo di 12
maggiore di a, allora la differenza vale:
a) 5 b) 7 c) 19 d) Non si può determinare con sicurezza
12) Nel numero 99986♥4, determina la cifra mancante sapendo che il numero stesso è divisibile per 12.
a) ♥=0 b) ♥=4 c) Il problema è impossibile
d) Non si può determinare con certezza, c’è più di un valore possibile per ♥
13) Nel seguente numero: 52♥34866, il simbolo ♥ indica la terza cifra da sinistra.
Determina ♥ in modo che il numero sia divisibile per 33.
a) ♥=3 b) ♥=4 c) Il problema è impossibile
d) Non si può determinare con certezza, c’è più di un valore possibile per ♥
14) Fra i numeri n di quattro cifre tali che è divisibile per 7, qual è il più piccolo?
a) 1001 b) 1007 c) 1008 d) 1010
RISPOSTE, RISULTATI DEGLI ESERCIZI SULLA DIVISIBILITA’ E SUI NUMERI PRIMI
1) a) F b) V c) V d) F e) V f) V g) V h) V i) V l) F m) V
n) V In effetti, dei 4 interi consecutivi che
fanno da fattori nel prodotto ,
uno almeno sarà certamente multiplo di 3, uno (e uno solo) multiplo di 4,
e un altro (diverso da quest’ultimo) multiplo di 2, per cui …
o) V
2) a) F La divisione, in matematica, è intesa come l’operazione inversa della moltiplicazione.
Il motivo per cui, ad esempio, si
ha ,
è che il 7, se venisse moltiplicato per 4, restituirebbe il 28:
.
Insomma,
se, e soltanto se, risulta
.
Consideriamo ora l’operazione .
Dovremmo trovare un numero che moltiplicato per 0 dia 3 … ma non lo troveremo mai!
Un numero siffatto non esiste, perché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà sempre e soltanto 0.
allora l’operazione è IMPOSSIBILE, è priva di risultato!
Non c’è nessun numero che possa, diciamo così, “pretendere di esserne il risultato”.
b) V c) V (infatti
0 è proprio quell’unico numero che moltiplicato per 3 dà 0) d) F
e) F
L’operazione è considerata “non eseguibile”, perché sarebbe
“indeterminata”, in quanto qualunque
numero potrebbe “pretendere di esserne il
risultato”. Infatti quando accade che
,
ma
nel caso della 0:0 qualunque numero, moltiplicato per 0 (divisore) darebbe come risultato 0 (dividendo)!
f) V g) V (in effetti, qualsiasi valore di x verifica l’uguaglianza in esame) h) V
3) Dopo aver risposto utilizzando i Criteri di divisibilità, o, nel caso del divisore 13, effettuando materialmente
la divisione, un modo per controllare la correttezza delle risposte date è di prendere una macchinetta
calcolatrice per constatare se, dividendo, si ottiene un intero oppure un numero con la virgola.
4) Lo sconforto dell’insegnante si deve al fatto che Pierino avrebbe dovuto mettere le parentesi:
indica, come si desiderava, che la somma fra x e y
deve essere moltiplicata per z,
mentre
scrivendo viene moltiplicato per z soltanto il numero y.
5) 126 ha come divisori propri 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63.
Il numero 127 non ha divisori propri, essendo primo. I divisori propri di 128 sono 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Quelli di 129 sono 3, 43. Quelli di 130 sono 2, 5, 10, 13, 26, 65.
6) L’elenco dei numeri primi non superiori a 125 è il seguente: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
7) Se un intero a ha un divisore proprio b maggiore della sua radice quadrata, allora avrà di certo anche
un altro divisore proprio, e precisamente il numero ,
che è minore della radice quadrata di a.
Quindi, se non si è trovato nessun divisore proprio
di n che sia ,
si può essere certi che n non ha
alcun
divisore proprio: se infatti, per assurdo, ne
avesse uno ,
se ne sarebbe già dovuto trovare un altro
.
8) a) F b) V c) V d) F e) V, 0 è considerato “pari” f) F g) V h) F (un numero primo deve essere >1)
i) V (“divide” significa “è divisore di”) l) F (la divisione per 0 è una “operazione non eseguibile”)
9) a) 12 kit al massimo, ciascuno con 5 cioccolatini, 6 biscotti, 2 crostatine b) fra 336 anni
c) 9+12+10=31 pezzi da 14 cm ciascuno d) y vale al minimo 60 e) 18 e 24 f) 4
g)
3600:120=30 volte h) i) dopo 3 giri della ruota più grande
10) a) b)
c)
d) e)
f)
g) Se si sa che ,
si può dire che b è divisore di a
h) i) SE si sa che
,
allora
e
.
Altrimenti, non è possibile rispondere.
11) 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 12) In effetti, ce ne sono 11
1) b) (essere multiplo di 9 implica essere multiplo di 3 …)
2) c) (4321000 non è divisibile per 3, quindi neppure per 6)
3) d) 4) a) il successivo di 2 (che è un numero primo) è 3, altro numero primo 5) d) 6) d) 7) d) 8) a)
9) c) Se il triplo dell’età di Carlo è uguale a 5 volte l’età di Bruno, allora il triplo dell’età di Carlo
dovrà essere un numero divisibile per 5, quindi l’età di Carlo stessa dovrà essere divisibile per 5.
Il più grande numero <15 divisibile per 5 è 10;
Carlo potrà dunque, al massimo, avere 10 anni, Andrea 30 anni, Bruno 6 anni.
10) b) 11) b) 12) d) (♥ potrebbe valere 0 oppure 6) 13) c)
14) a) è divisibile per 7 se e solo se
è divisibile per 7. Ed
è divisibile per 7 se e solo se lo è
.
Allora si tratta di cercare il più piccolo numero di 4 cifre divisibile per 7, che risulta essere 1001.