NUMERI E OPERAZIONI

MA CHE COS’E’ UN “NUMERO”?

Rispondere in modo esauriente a questa domanda sarebbe davvero impegnativo:

richiederebbe una trattazione ad alto livello, e un gran bel malloppo di pagine!

Accontentiamoci di dare solo qualche idea, senza voler entrare in tutti i particolari.

Ci occuperemo prima di tutto degli interi.

 1.  NUMERI INTERI

Consideriamo la coppia di insiemi sotto raffigurata:

L’insieme A e l’insieme B sono molto diversi l’uno dall’altro in quanto alla natura dei loro elementi;

tuttavia, a ben guardare, “qualcosa” in comune ce l’hanno:

possono infatti essere posti in “CORRISPONDENZA BIUNIVOCA”,

come l’insieme delle ASOLE e l’insieme dei BOTTONI di una stessa camicia: ossia,

ad OGNI elemento di A si può far corrispondere UNO E UN SOLO elemento di B,  E VICEVERSA.

Ad esempio, possiamo associare le “asole”

ai “bottoni” secondo lo schema seguente:

CONTROESEMPIO

Invece NESSUNA

corrispondenza biunivoca

sarebbe possibile

fra QUESTI due insiemi  

E’ evidente che ci sono infiniti altri insiemi che hanno la proprietà

di poter essere posti in corrispondenza biunivoca con A o con B:

Bene!

Si dice “numero intero” quell’entità astratta, quel “quid”, che è comune a tutti gli insiemi,

che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con un insieme dato

(purché questo non sia infinito).

Nel caso degli insiemi A, B, C, D, ecc., sopra considerati, l’ “entità astratta” che li accomuna è chiamata “il numero 3”.

Cosa si intende, ora, per “somma” di numeri interi?

“Somma” deve sempre richiamarci l’idea di “totale”. Sia dunque X un insieme con un certo numero n di elementi,

Y un altro insieme, con un dato numero m di elementi. Supponiamo che X, Y siano “disgiunti”

( = non ci sia nessun elemento che appartenga contemporaneamente ad entrambi).

Creiamo ora un nuovo insieme Z nel quale mettiamo sia gli elementi di X, sia anche gli elementi di Y.

Si dice che l’insieme Z è l’ “unione” degli insiemi X, Y, e si scrive . Ciò premesso,

si definisce “somma” dei numeri interi n ed m, e si indica con n+m,

l’intero che è associato all’insieme  (leggi: “X unione Y”).

Ad esempio, la “somma”  è pensata come quel numero

che è individuato dall’unione di una coppia di insiemi disgiunti,

il primo dei quali “rappresenti” il numero 3 e l’altro il numero 2.

L’operazione di moltiplicazione fra interi è concepita come una “somma ripetuta”:   

Le operazioni di sottrazione e divisione vengono definite come le inverse dell’addizione e della moltiplicazione:

APPROFONDIMENTO: gli insiemi infiniti e i vari “gradi di infinito” (pag. 80)