5.  FRAZIONI

Per rappresentare quei casi, molto frequenti, in cui una data unità va suddivisa in più parti uguali,

si utilizzano dei numeri di nuovo tipo: le frazioni.

Facciamo, senza pretese di completezza, alcune riflessioni su di esse.

Ad esempio, la frazione  descrive la fetta di torta che abbiamo ombreggiato qui a destra:

 esprime ciò che si ottiene suddividendo l’unità in 4 parti uguali, e prendendone una.

Col simbolo  indichiamo un nuovo numero, che descrive le situazioni in cui

una unità è stata suddivisa in 4 parti uguali, e si sono poi prese 3 di queste parti uguali.

In generale, in una frazione   (per esigenze di spazio, scriveremo a volte  )

·         il numero  è il “denominatore” e dice in quante parti uguali l’unità è stata suddivisa,

·         il numero  è il “numeratore” e dice quante di queste parti sono state prese.

Data una frazione, se si moltiplicano per uno stesso intero sia il numeratore che il denominatore,

si otterrà sempre una frazione uguale a quella di partenza (proprietà invariantiva).

Ad esempio, se prendo la frazione 3/4 e moltiplico per 2 sia “sopra” che “sotto”,

ottengo quella frazione, 6/8,

che descrive il fatto di dividere l’unità in 8 parti (anziché 4),

prendendo poi 6 di quelle parti (anziché 3);

ogni parte è ora la metà rispetto alla suddivisione precedente,

ma in compenso, di queste “mezze fette”, ne prendo il doppio,

quindi finisco per prendere la stessa porzione dell’unità che avevo preso prima.

Ma allora, procedendo a ritroso, se una frazione è tale che si possano dividere per uno stesso intero

sia il numeratore che il denominatore, tale “semplificazione” si potrà effettuare,

perché la frazione così ottenuta sarà uguale a quella da cui si era partiti.

Ad esempio,       ,         

Ha senso anche considerare frazioni col numeratore più grande del denominatore:

se compro una torta e ne lascio i 3/5 per la mamma,

e mia sorella compra un’altra torta uguale alla mia lasciandone i 4/5 alla mamma,

allora la mamma si troverà ad avere 7 fette, ciascuna uguale

alla quinta parte di una torta, ossia: si troverà ad avere 7/5 di torta.

Un intero n equivale alla frazione . Divido l’unità in una sola parte (quindi la lascio inalterata);

poi prendo n oggetti uguali a quello ottenuto.  Ho preso così n unità!  .

Quanto alla “somma” tra frazioni, essa dovrà, come coi numeri interi, avere il significato di “fare il totale”.

Dunque, ad esempio, è ovvio che dovrà essere   

(divido l’unità in 7 parti uguali e ne prendo 2; poi divido un’altra unità in 7 parti uguali e ne prendo 4

− oppure, prendo altre 4 parti sempre dalla solita unità suddivisa in sette − ;

in totale, le parti che ho preso, a quale porzione di unità corrisponderanno?

Ovviamente, corrispondono a 6 “fette” ciascuna uguale alla settima parte dell’unità:  ).

Quindi, quando le due frazioni hanno lo stesso denominatore, per sommarle

è sufficiente conservare lo stesso denominatore, e prendere come numeratore la somma dei numeratori.

Se le frazioni da sommare non hanno lo stesso denominatore, c’è qualche difficoltà in più, facilmente superabile.

Per meglio fissare le idee, ragioniamo su di un esempio.

Supponiamo di dover effettuare la somma  . Purtroppo le due frazioni non hanno lo stesso denominatore.

Se però riuscissimo a riscrivere ciascuna frazione, tramite la proprietà invariantiva, in modo da ottenere

due nuove frazioni, rispettivamente equivalenti come valore alle due precedenti, ma aventi denominatori identici,

allora potremmo effettuare la somma fra queste ultime, e sarebbe esattamente come sommare quelle di partenza.

Vogliamo, in definitiva, arrivare alla situazione    dove “triangolino” dovrà essere

un numero ricavato applicando a ciascuna frazione l’invariantiva, quindi moltiplicando il 4 per un certo intero,

ma anche moltiplicando il 6 per un certo altro intero; perciò dovrà essere un multiplo comune del 4 e del 6.

Per comodità possiamo prendere . E fare dunque così:   

Ora, quali due numeri dovremo mettere al posto dei puntini?

Ragioniamo.  Se vogliamo trasformare la frazione  in ,

utilizzando la proprietà invariantiva in modo che il valore della frazione non cambi,

dovremo sostituire ai puntini quel numero che è ottenibile a partire dal 7 moltiplicandolo

per lo stesso fattore che a partire dal 4 ci porta a ottenere il 12, ossia il 3

(osserviamo che 3 è il numero di volte in cui il 4 è contenuto nel 12, ossia è il risultato della divisione 12:4).

E allo stesso modo, se vogliamo trasformare la frazione  in ,

al posto dei puntini dovremo metterci quel numero che è ottenibile a partire dal 5 moltiplicandolo

per lo stesso fattore che a partire dal 6 ci porta a ottenere il 12, ossia il 2

(osserviamo che 2 è il numero di volte in cui il 6 è contenuto nel 12, ossia è il risultato della divisione 12:6).

Ricapitoliamo. Al posto dei puntini ci devono andare, rispettivamente, i risultati di  e di  

e si giunge alla situazione  

Il secondo passaggio è stato cancellato perché nella pratica può essere saltato per brevità: quindi in definitiva

per sommare due, o più, frazioni (o sottrarre due frazioni) si scrive una sola frazione, avente a denominatore

il cosiddetto “minimo comun denominatore” (m. c. d.) ossia il m. c. m. dei denominatori iniziali

e a numeratore la somma (la differenza) fra i numeri determinati “dividendo il denominatore comune

per ogni denominatore, e moltiplicando il numero così ottenuto per «ciò che sta sopra»”

La moltiplicazione di una frazione per un intero

avrà ancora il significato di “somma ripetuta”:

mentre per quanto riguarda la moltiplicazione di una frazione per un’altra frazione, osserviamo che ad es.  

è come dire che prendo una porzione da , la divido in  parti uguali (ottenendo  ), poi ne prendo  (ecco  ).

In generale, si vede che è “logico” fissare la regola  .

La divisione fra due frazioni (in particolare: fra un intero e una frazione, o viceversa), si effettua moltiplicando

la 1^a frazione per “la 2^a capovolta”: es. .  In situazioni semplici come  ,

il perché si capisce senza fatica: è ovvio che dividere per 2 una “fetta” da 1/3 significa ottenere una “fetta” da 1/6,

dunque è corretto affermare che la divisione per  equivalga alla moltiplicazione per 1/2.

Puoi ora cercare di riflettere per conto tuo sulle motivazioni della regola in altri casi meno elementari; vedi anche ð;

noi comunque ci ritorneremo sopra più avanti, quando parleremo di “reciproco” in un contesto di “numeri relativi”.

q        Un’ultima osservazione: una frazione  equivale sostanzialmente alla divisione  .

Prendiamo infatti, ad esempio, la frazione ; essa equivale alla divisione , perché

 A)

 significa:

spezzo un’unità in 3 parti uguali,

poi prendo 2 di queste parti …

B)   … ma la quantità così ottenuta è uguale a ciascuna di quelle

       che si avrebbero “dividendo 2 unità in 3 parti” (2:3), ossia

       prendendo 2 unità e ripartendo questo complesso in 3 parti uguali,

       con la finalità di “ripartire equamente la coppia di torte fra 3 persone”.

oppure