7.  OPERAZIONI E LORO PROPRIETA’ (proprietà che sono valide per tutti i numeri reali!)

q       

a)     Proprietà commutativa dell’addizione:

in una somma, è possibile mutare a piacimento l’ordine degli addendi

perché così facendo il risultato non cambierà.

b)     Proprietà associativa dell’addizione:

data una somma di più addendi, è possibile, tramite coppie di parentesi,

associare liberamente gli addendi a gruppi, perché così facendo il risultato non cambierà.

c)     Proprietà dissociativa dell’addizione:

data una somma di più addendi, alcuni dei quali raggruppati fra parentesi,

si possono sciogliere le parentesi, e il risultato non cambierà.

q       

d)    Proprietà commutativa della moltiplicazione:

in un prodotto, è possibile mutare a piacimento l’ordine dei fattori

perché così facendo il risultato non cambierà.

e)     Proprietà associativa della moltiplicazione:

dato un prodotto di più fattori, è possibile, tramite coppie di parentesi,

associare liberamente i fattori a gruppi, perché così facendo il risultato non cambierà.

f)      Proprietà dissociativa della moltiplicazione:

dato un prodotto di più fattori, alcuni dei quali raggruppati fra parentesi,

si possono sciogliere liberamente le parentesi, e il risultato non cambierà.

g)     Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

quando si deve moltiplicare

una somma per un numero (vedi esempio qui a fianco),

è possibile, volendo, moltiplicare per quel numero

ogni singolo addendo della somma,

poi addizionare i prodotti parziali così ottenuti.

(a secondo membro non abbiamo scritto

il puntino di moltiplicazione; clicca sulla freccia

per sapere quando lo si può lasciare sottinteso ð)

Se ho 2 astucci, in ciascuno dei quali

ci sono 5 penne, 4 matite e 3 gomme,

per contare il numero totale degli oggetti

posso procedere in due modi:

a)      contare gli oggetti di ciascun astuccio

poi moltiplicare per 2 il risultato

b)      contare prima tutte le penne   

 poi tutte le matite   

poi tutte le gomme   

e infine sommare i numeri così ottenuti:

h)     Proprietà distributiva generalizzata:

quando si deve moltiplicare

una somma per un’altra somma (vedi esempio a fianco),

è possibile, volendo, moltiplicare

ciascun addendo della prima somma

per ciascun addendo della seconda,

poi addizionare i prodotti parziali così ottenuti.

Per calcolare l’area di questo rettangolo

posso procedere in due modi:

a)      calcolare subito

l’area totale

b)      oppure calcolare

le quattro aree parziali

e poi sommarle:

q       

 La sottrazione è definita come l’operazione inversa dell’addizione.

 E’ quell’operazione mediante la quale, dati due numeri,

 se ne trova un terzo che addizionato al secondo dà come risultato il primo:

   se  c  è tale che   

 La sottrazione NON gode

·     né della proprietà commutativa    

·     né della associativa/dissociativa   

 Gode invece della seguente

i)       Proprietà invariantiva della sottrazione:

in una sottrazione, è possibile, volendo, addizionare o sottrarre uno stesso numero

ad entrambi i termini (minuendo e sottraendo), e il risultato non cambierà.

q       

j)      Proprietà invariantiva della divisione (o delle frazioni in senso “lato”, vedi NOTA qui sopra):

in una divisione (o in una frazione), è possibile, volendo, moltiplicare o dividere per uno stesso numero

(purché diverso da 0! La divisione per 0 è una operazione “non eseguibile”, vedi pagina successiva)

entrambi i termini (dividendo e divisore; numeratore e denominatore), e il risultato non cambierà.

k)     Proprietà distributiva del quoziente rispetto alla somma:

quando si deve dividere una somma per un numero,

è possibile, volendo, dividere per quel numero ciascun addendo della somma,

poi addizionare i quozienti parziali così ottenuti.

l)      “Per moltiplicare, o dividere, un prodotto per un numero …”

    … basta moltiplicare, o dividere, per quel numero, UNO SOLO A SCELTA fra i fattori del prodotto.

 In particolare,

 quando si deve dividere un prodotto per uno dei suoi fattori, basta sopprimere quel fattore.

q      LA “DIVISIONE INTERA”

Così viene chiamata la divisione fra due interi, quando non si accetta un risultato frazionario o decimale,

ma si vuole invece un “quoziente intero” e un resto.

Se a, b sono due interi (con  ), e si intende che il simbolo “  ” indichi DIVISIONE INTERA,

allora   

Notare l’importantissima condizione : il resto dev’essere sempre minore del divisore.

Ad esempio, è giusto scrivere che  (col resto di 3) perché  ,  ed è  .

q      LA “LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO”

Prende il nome di “legge di annullamento del prodotto” la proposizione (=affermazione) seguente:

“Se almeno uno dei fattori di un prodotto è 0, allora il prodotto vale 0;

e viceversa, se un prodotto è uguale a 0, allora sarà uguale a 0 almeno uno dei fattori”.

q      GLI “ELEMENTI NEUTRI” DELLA SOMMA E DEL PRODOTTO

Si dice che lo zero ( 0 ) è “l’elemento neutro ( = ininfluente ) della somma”,

per indicare che, sommato a qualsiasi numero, lo lascia invariato:    (  significa “per ogni”).

Si dice che il numero 1 è “l’elemento neutro del prodotto”,

per indicare che, moltiplicato per qualsiasi numero, lo lascia invariato:   .

In relazione al prodotto,  0  si comporta invece da “elemento assorbente”, perché    .

Osserviamo a proposito che l’operazione di addizione non possiede alcun “elemento assorbente”.

q      IL PROBLEMA DELLA DIVISIONE PER ZERO

La divisione (stiamo ora parlando della divisione “ordinaria”, NON della “divisione intera”)

è definita come l’operazione inversa della moltiplicazione, ossia come l’operazione per cui,

dati due numeri a, b, si trova quel terzo numero c il quale, se moltiplicato per b, restituisce come risultato a.

·       Consideriamo ora, ad esempio, la divisione .

  Essa “ci chiede” di determinare un numero tale che, moltiplicato per 0, dia come risultato 1;

  ma un numero siffatto NON ESISTE, in quanto ogni numero, quando viene moltiplicato per 0,

  dà sempre risultato 0 e quindi non potrà mai dare 1.

  Perciò l’operazione  è IMPOSSIBILE, ossia PRIVA DI RISULTATO.

  E’ evidente che alla stessa conclusione saremmo giunti considerando le operazioni  5:0,  7:0,   4,21:0  …

·       Se invece consideriamo l’operazione , questa “ci chiede” di determinare un numero tale che,

  moltiplicato per 0, dia come risultato 0; ma QUALSIASI numero gode di questa proprietà!

  Perciò l’operazione  è INDETERMINATA (nel senso che non ha un risultato ben determinato, ma

  potrebbe avere infiniti risultati, perché qualunque numero potrebbe “pretendere” di esserne il risultato).

·       Infine,  (operazione “normale”; esiste uno e un sol numero che moltiplicato per 1 dia 0, ed è lo 0)

q      1/0 UGUALE “INFINITO” ???

Forse da qualche parte ti sarà capitato di leggere che      (il simbolo  sta per “infinito”).

La scrittura   va correttamente interpretata.

Essa compare nello studio dei “limiti” (a livello pre-universitario), e comunque, semplificando un poco,

si può dire che è sostanzialmente un modo conciso per esprimere il concetto seguente:

Se prendiamo una frazione che abbia 1 a numeratore, e facciamo “tendere a zero il denominatore”,

ossia facciamo assumere al denominatore valori piccolissimi, vicinissimi a zero,

allora il risultato assumerà valori grandissimi, “tendenti a infinito”.