NUMERI RELATIVI

 1.  I NUMERI RELATIVI: COSA SONO E A COSA SERVONO

 I numeri SENZA SEGNO (es.  3;  29;  1/4;  8,02; ...) vengono anche chiamati "numeri ASSOLUTI",

 mentre ai numeri CON SEGNO (es. −4;  +7;  −0,98;  +5/6; ...) si dà il nome di "numeri RELATIVI".

 I numeri relativi si dividono in:

 POSITIVI; NEGATIVI; e lo ZERO (“neutro”, cioè né positivo né negativo).

A cosa servono i numeri relativi? Servono a descrivere le "GRANDEZZE ORIENTATE",

cioè quelle grandezze che possono variare in due sensi opposti a partire da un "livello zero"

(temperature, altitudini e depressioni, anni prima e dopo Cristo, cariche elettriche, bilanci finanziari, …)

Per esprimere il valore di una grandezza di questo tipo, non è sufficiente un numero assoluto!

q      Ad esempio, una temperatura misurata in gradi Celsius può essere più alta o più bassa rispetto allo “zero termico”

convenzionale (che è poi la temperatura di passaggio dell’acqua dallo stato liquido allo stato solido).

E’ comodo associare il simbolo “+” all'idea di “sopra lo zero” e il “− ”  all'idea di “sotto lo zero”:

scriverò allora, a seconda dei casi, ad esempio, +7 °C, oppure −7 °C   ð

q      E se voglio indicare in modo rapido che una certa località di Israele (dove esiste una forte depressione della

crosta terrestre) si trova ad un'altitudine di “35 m sotto il livello del mare”, potrò segnare questa altitudine

come −35 m (sottintendendo, naturalmente, che il livello del mare sia considerato come “livello zero”)   ð

Soltanto "trafficando" effettivamente coi numeri relativi, ed impiegandoli nei vari rami della scienza

(ad esempio la Fisica), ci si può rendere conto di quanto enorme sia la varietà delle loro applicazioni.

 Al posto di scrivere +7 per brevità si può scrivere semplicemente 7

 (a meno che motivi di chiarezza non suggeriscano di evitare l'abbreviazione).

 Infatti i numeri positivi vengono sostanzialmente identificati coi numeri assoluti.

Due numeri entrambi positivi, o entrambi negativi, insomma: dello stesso segno, si dicono "concordi".

Ad esempio, −7 e −25 sono concordi; +5/4 e +1 sono concordi.

Due numeri di segno diverso si dicono "discordi": ad esempio, +89 e −6 sono discordi.

Due numeri come −4 e +4, che differiscono solo per il segno, si dicono "opposti".

Si può scrivere , e quindi 0 è considerato l’opposto di sé stesso.

 Si dice "VALORE ASSOLUTO" di un numero relativo, il numero stesso privato del suo segno.

 Ad esempio, il valore assoluto di −5 è 5, il valore assoluto di +1/3 e 1/3.

 In alternativa a “valore assoluto” si può dire “MODULO”.

Per indicare il valore assoluto di un numero relativo, si pone il numero entro una coppia di stanghette verticali.

Esempi:       (leggi: “valore assoluto di 5 uguale a 5”, ecc.)

Poiché i numeri assoluti coincidono sostanzialmente coi numeri positivi (5 = +5,  1/3 = +1/3) si può anche dire che

 il valore assoluto di un numero relativo è

·         il numero stesso, se questo è positivo o nullo;

·         l'opposto del numero, se questo è negativo.

 2.  LA “NUMBER LINE”

Quando si vuol dare una rappresentazione grafica dell'insieme dei numeri relativi

(rappresentazione che evidenzi visivamente anche l'ordinamento di questo insieme),

si ricorre al cosiddetto "asse delle ascisse".

 Un "asse delle ascisse" (noi di norma preferiremo dire, all’inglese, “NUMBER LINE” ð)

 è una retta, sulla quale sono stati fissati:

a)      un punto, detto "origine", solitamente indicato con la lettera O (rappresenterà il numero "zero")

b)      un'unità di misura u per le lunghezze

c)      e un verso di percorrenza da considerarsi come "verso positivo"

         (di solito, salvo rare eccezioni, se la retta è orizzontale si suole assumere come verso positivo quello

          che va da sinistra verso destra, mentre se la retta è verticale quello che va dal basso verso l'alto).

Se, a partire dall'origine e andando in verso positivo, noi riportiamo sull'asse delle ascisse tanti segmenti consecutivi

tutti uguali all'unità di misura, le estremità di questi segmenti rappresenteranno gli interi positivi:  

Se facciamo la stessa cosa sempre a partire dall'origine, ma in verso negativo,

le estremità dei segmenti disegnati rappresenteranno i numeri interi negativi:  

Per rappresentare una frazione, occorrerà pensare di dividere l'unità di misura

in tante parti uguali quant'è il denominatore della frazione, e poi ... ma mi spiegherò con degli esempi.

Se vogliamo rappresentare la frazione +3/4, dovremo dividere l'unità di misura

in 4 parti uguali e prendere un segmento formato da 3 di queste parti.

Tale segmento andrà riportato a partire dall'origine in verso positivo,

e la sua estremità rappresenterà, appunto, la frazione +3/4.

Per rappresentare il numero 12/5 dovremo

dividere l'unità di misura in 5 parti uguali,

poi considerare il segmento

formato da 12 di questi segmentini,

e riportarlo a partire dall’origine in verso negativo.

L'estremità del segmento così disegnato

rappresenterà, appunto, il numero 12/5.

La “number line” è di estrema utilità in un mucchio di questioni di interesse matematico.

Per ora, limitiamoci ad osservare che la rappresentazione sull'asse delle ascisse permette di confrontare

agevolmente due numeri relativi assegnati, per stabilire qual è il maggiore e quale il minore:

FRA DUE NUMERI RELATIVI DATI, SI CONSIDERA MINORE QUELLO CHE,

rappresentato su di una “number line” orizzontale (NOTA), STA PIU' A SINISTRA

NOTA: … e orientata “in modo standard”, cioè col verso di percorrenza positivo che va da sinistra a destra

Se si pensa ad es. alle temperature (minore=più bassa) o agli anni prima e dopo Cristo (minore=precedente),

si comprenderà agevolmente come questo ordinamento dell'insieme dei numeri relativi

"vada d'accordo" con le applicazioni di questi stessi numeri alla descrizione delle grandezze orientate.

FRA DUE NUMERI ENTRAMBI NEGATIVI IL MINORE E’

quello più lontano dall'origine, ossia

QUELLO CHE HA VALORE ASSOLUTO MAGGIORE;

e (davvero importante!)

IL VALORE ASSOLUTO o “modulo” DI UN NUMERO RELATIVO

CORRISPONDE ALLA DISTANZA DALL’ORIGINE

del punto che gli è associato sulla number line.

Osserviamo che ad ogni numero relativo corrisponde uno e un solo punto sull'asse delle ascisse,

e viceversa ad ogni punto sull'asse delle ascisse corrisponde uno e un solo numero relativo.

Si dice che c'è una "corrispondenza biunivoca" fra i punti dell'asse delle ascisse ed i numeri reali relativi.

 Preso un numero relativo x, il punto P corrispondente viene detto "punto immagine" del numero x.

 Il numero x, invece, viene detto "ascissa" del punto P.

Nella figura qui a fianco, il numero +7/2 = +3,5

e il punto K si corrispondono: si dice quindi che

K è "il punto immagine" (o, più brevemente,"l'immagine")

del numero +7/2, mentre il numero +7/2 è "l'ascissa" del punto K.

 L'immagine del numero zero è l'origine; l'ascissa dell'origine è zero.

ESERCIZI (vai alle risposte ð)

1)       Qual è il minore fra tutti i numeri interi relativi, formati da tre cifre?

2)       Qual è il minore fra tutti i numeri interi relativi, formati da tre cifre tutte diverse fra loro?

3)       Qual è il maggiore fra tutti gli interi relativi, formati da tre cifre?

4)       Qual è il maggiore fra tutti gli interi negativi, formati da tre cifre?

5)       Sul quaderno, disegna un asse delle ascisse (unità di misura: 2 quadretti) e, su di esso,

  rappresenta i seguenti numeri relativi:   +3      −1/4      +2/3       −3/5      −3,5      27/4      −11/6

6)       Fra i due numeri relativi    e ,  qual è il minore?