3.  SOMMA, DIFFERENZA, QUESTIONI VARIE RIGUARDANTI I SEGNI

q      SOMMA

La somma di due numeri relativi

è quell'operazione che si esegue interpretando

i numeri positivi come soldi guadagnati

e i numeri negativi come soldi persi.

Con linguaggio più propriamente matematico, possiamo dire che

·         quando i due numeri sono CONCORDI (cioè, hanno lo stesso segno),

        la loro somma è quel numero che ha

♪         come segno lo STESSO SEGNO degli addendi,

♫       e come valore assoluto la SOMMA dei loro valori assoluti

        es.                           

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ð

per una

descrizione

della regola

in Inglese

·         quando i due numeri sono DISCORDI (ossia, hanno segni opposti),

        la loro somma è quel numero che ha

♪         come segno il SEGNO DELL’ADDENDO “PREVALENTE” ( = con val. ass. maggiore)

♫       e come valore assoluto la DIFFERENZA fra i valori assoluti degli addendi

        es.                              

·         la somma di due numeri opposti (come +5 e −5) è zero.

Si può dimostrare che l’operazione così definita gode delle proprietà commutativa, associativa e dissociativa

Abbiamo dunque visto che per sommare due numeri relativi,

non sempre bisogna effettuare una somma nel senso usuale della parola,

perché se i due numeri sono discordi in realtà bisogna effettuare (fra i loro moduli) una sottrazione.

Per questo motivo, quando si parla di somma di due o più numeri relativi,

anziché usare semplicemente la parola "somma"

si preferisce usare la locuzione "SOMMA ALGEBRICA": proprio per indicare che

non sempre si tratta di una "somma" nel senso in cui la parola "somma" è intesa comunemente.

Ricordiamo, infine, che un modo di eseguire mentalmente la somma algebrica è il seguente:

→      un addendo POSITIVO mi dice di "contare in AVANTI",

        ossia di "PROCEDERE IN VERSO POSITIVO SULL’ASSE DELLE ASCISSE";

←      un addendo NEGATIVO mi dice di "contare all'INDIETRO", di "scalare delle unità",

        cioè di "PROCEDERE IN VERSO NEGATIVO SULL’ASSE DELLE ASCISSE".

Ad esempio, eseguire la somma algebrica  vuol dire partire dal primo addendo (  ) ,

che si immagina rappresentato sull'asse delle ascisse, e poi spostarsi a sinistra

(dato che in questo caso il secondo addendo è negativo) di 7 unità. Si giunge così al numero .

Per indicare la somma algebrica di due o più numeri relativi, in teoria dovrei fare così:

se ad es. devo indicare la somma algebrica dei numeri  dovrei scrivere

     ,

cioè dovrei racchiudere ciascun numero relativo (ad eccezione, volendo, del primo) entro parentesi:

e questo perché in Matematica si considera scorretto scrivere due segni uno di seguito all'altro.

In pratica, però,

 quando si vuole INDICARE LA SOMMA ALGEBRICA di due o più numeri relativi,

 si usa scrivere questi numeri relativi uno di seguito all'altro coi rispettivi segni, senza parentesi:

 In virtù di questa convenzione, di questo accordo fra i matematici, motivato da esigenze di brevità,

 resta allora fissata la seguente REGOLA:

In breve, un segno + davanti a un altro segno,

lascia invariato quest’ultimo.

q      DIFFERENZA

Sottrarre una perdita

è come aggiungere un guadagno,

e sottrarre un guadagno

è come aggiungere una perdita  ð

SOTTRARRE un numero relativo

equivale ad ADDIZIONARE ALGEBRICAMENTE L’OPPOSTO

di quel numero  ð

   Resta dunque stabilita la REGOLA:

In breve, un segno  davanti a un altro segno,

muta quest’ultimo nel segno opposto.

A

P

P

R

O

F

O

N

D

I

M

E

N

T

O

Dal punto di vista matematico, è più corretto presentare l'operazione di sottrazione

fra numeri relativi in modo astratto, senza parlare di debiti e crediti. Vediamo come.

Innanzitutto, occorre ricordare che in Matematica

la "sottrazione" è definita come l'operazione inversa dell'addizione.

La sottrazione è dunque l'operazione mediante la quale, dati due numeri,

se ne trova un terzo che addizionato al secondo dà come risultato il primo.

Insomma:    se  c  è tale che  .

Vogliamo dimostrare che la differenza    è data dalla somma algebrica   

(essendo b' l'opposto di b, ossia essendo   ).

Dovremo far vedere che prendendo il numero  ,

e addizionandogli algebricamente b,

si ottiene come risultato a.

In effetti:  , come volevasi dimostrare.

q      OSSERVAZIONI SU:

·         L’OPPOSTO DI UN NUMERO RELATIVO;

·         LA REGOLA PER LO SCIOGLIMENTO DELLE PARENTESI

                PRECEDUTE DA UN SEGNO + O DA UN SEGNO  

Nell'ambito di una sottrazione fra numeri relativi, il segno "  " di sottrazione

provoca dunque l'effetto di cambiare il segno del numero che lo segue.

Si è affermata allora, fra i matematici, l'abitudine di usare IL SEGNO "  " davanti a un numero

ANCHE AL DI FUORI DELL’OPERAZIONE DI SOTTRAZIONE,

e precisamente QUANDO SI VUOLE INDICARE l'OPPOSTO del numero in questione.

Quindi avremo, per esempio,    e così via.

In generale,

per indicare l'opposto di un numero indicato con la lettera , si userà il simbolo .

ATTENZIONE! 

Quando, in un'espressione letterale, si incontra il simbolo ,

non si deve pensare, vedendo il , che tale simbolo rappresenti per forza un numero negativo:

                                                rappresenta l'opposto di , per cui

·         se  è positivo,  è negativo,

·         ma se  è negativo,  è positivo.

Ad esempio, per , avremo   

La scrittura   indica

l'opposto del numero, che è il risultato della somma algebrica  .

Ora, è facile convincersi che , ossia:

"L’OPPOSTO DI UNA SOMMA ALGEBRICA

è uguale alla SOMMA ALGEBRICA DEGLI OPPOSTI".

Un modo suggestivo per giustificare la verità di questa affermazione è il seguente

(ci riferiremo per meglio fissare le idee all’esempio fatto,

ma ne verrà fuori un ragionamento di carattere generale).

♪       Abbiamo visto che una somma algebrica si può pensare come effettuabile tramite successivi spostamenti

sull'asse delle ascisse (verso destra, quando l'addendo è positivo, verso sinistra quando è negativo);

quindi possiamo pensare di effettuare il calcolo  tramite tre saltelli successivi:

sinistra 2 poi destra 6 poi sinistra 9 (s’intende: a partire dall’origine)

♪       Ora, a partire da , dobbiamo passare all’opposto ;

e fare l'opposto di un numero relativo significa, geometricamente,

prendere tale numero e passare al suo

"simmetrico rispetto all'origine"

♫       Però è evidente che si arriverebbe alla stessa posizione finale (nel nostro esempio, +5)

anche ricominciando da capo e prendendo i medesimi addendi, ma ciascuno col segno opposto,

cosicché ogni singolo movimento venga effettuato nel verso opposto: a partire dall’origine,

destra 2 poi sinistra 6 poi destra 9

Resta così acquisita la regola che dice:

q      LA REGOLA PER LO SCIOGLIMENTO DI UNA PARENTESI,

CONTENENTE UN NUMERO RELATIVO OPPURE UNA SOMMA ALGEBRICA,

PRECEDUTA DA UN SEGNO + O DA UN SEGNO − ;

UNA GIUSTIFICAZIONE ESAURIENTE E COMPLETA

SE HO UN SEGNO − DAVANTI A UNA PARENTESI CHE CONTIENE UN NUMERO RELATIVO,

OPPURE UNA SOMMA ALGEBRICA, POSSO SCIOGLIERE LA PARENTESI

CAMBIANDO PERO’ DI SEGNO TUTTI I NUMERI ENTRO PARENTESI.

SE HO UN SEGNO + DAVANTI A UNA PARENTESI CHE CONTIENE UN NUMERO RELATIVO,

OPPURE UNA SOMMA ALGEBRICA, POSSO SCIOGLIERE LA PARENTESI

SENZA CAMBIARE NESSUN SEGNO.

La giustificazione della regola è piuttosto elaborata, e, contrariamente a quanto si sarebbe tentati di pensare,

NON è già stata data, perché bisogna considerare tutte le diverse situazioni che si possono presentare;

ora, nelle pagine precedenti, abbiamo già preso in esame qualcuno dei casi, ma non la totalità!

Coraggio, dunque:

A

In questo caso, il + centrale indica somma algebrica e, come abbiamo già detto,

la comunità dei matematici ha stabilito una convenzione secondo la quale,

quando si vuole indicare la somma algebrica di due o più numeri relativi,

si potranno scrivere questi numeri relativi uno di seguito all'altro

coi rispettivi segni, senza introdurre parentesi.

B

In questo caso, il  centrale indica sottrazione e, come abbiamo già visto,

sottrarre un numero relativo equivale ad addizionare algebricamente l'opposto.

Quindi  

ma anziché  è possibile, per brevità,

scrivere semplicemente  

in virtù della convenzione appena ricordata al precedente punto A).

C

In questo caso, il  davanti al (  ) non è un  di sottrazione,

ma indica invece che “si vuole considerare l'opposto del numero (  )”;

e l'opposto di un numero relativo è

il numero che si ottiene cambiando il segno

e lasciando invariato il valore assoluto.

D

In questo caso, il + davanti al (  ) non indica niente di particolare;

ribadisce soltanto che si vuole considerare proprio il numero (  ),

senza passare all'opposto.

Quindi, quando troviamo scritto ,

potremo senza indugio scrivere semplicemente .

E

Vedi il precedente caso D): è la stessa cosa.

F

Il  davanti alla parentesi indica qui “passaggio all'opposto”;

e, come è stato ben spiegato nella pagina precedente,

l'opposto di una somma algebrica è uguale alla somma algebrica degli opposti.

G

Il + davanti alla parentesi indica, in questo caso, somma algebrica;

e abbiamo già puntualizzato che la somma algebrica

gode delle proprietà associativa e dissociativa.

La proprietà dissociativa è proprio quella che qui giustifica la possibilità

di eliminare la parentesi, lasciando invariati i segni.

H

Il  davanti alla parentesi indica, in questo caso, sottrazione;

è noto che sottrarre un numero relativo

equivale ad addizionare algebricamente l'opposto;

e l'opposto di una somma algebrica (vedi pagina precedente)

è uguale alla somma algebrica degli opposti.

Quindi  ;

infine,  , come già visto (caso G)