5.  IL RECIPROCO (o “inverso”) DI UN NUMERO RELATIVO

      IL QUOZIENTE DI DUE NUMERI RELATIVI

 Dato un numero relativo , si dice "reciproco" di  

 quel numero relativo che moltiplicato per  dà come risultato +1.

Numero

Reciproco

Infatti   

Si capisce che, dato un numero razionale relativo, per farne il reciproco basterà

♪    scrivere il numero dato sotto forma di frazione (se già non lo è),

♫     poi "capovolgere" questa frazione, mantenendo invariato il segno che la precede.

q     Esistono due numeri relativi che hanno la proprietà di coincidere col proprio reciproco. Quali sono? …... ð

q     Se ti chiedono “qual è il reciproco del numero 0”, tu cosa rispondi?  …………………………. ð

 Per effettuare una divisione fra due numeri relativi (ossia, per trovarne il "quoziente"),

 basta moltiplicare il primo per il reciproco del secondo.

 Esempi:      ;          ;           

 La giustificazione di questa regola ricalca la giustificazione data per la regola della sottrazione

 (sottrarre significa addizionare algebricamente il numero opposto). Vediamo.

 La divisione è definita come l'operazione inversa della moltiplicazione.

 E’ l’operazione mediante la quale, dati due numeri, se ne trova un terzo che, moltiplicato per il  secondo,

 dà come risultato il primo. Es.:   perché  ;     perché  .

 Insomma:    .

 Noi vogliamo dimostrare che il quoziente   è dato dal prodotto  

 (essendo b' il reciproco di b, ossia essendo  ).

 Dovremo far vedere che il prodotto , se viene moltiplicato per b, dà come risultato a.

 Ma in effetti:    

E’ evidente che le stesse considerazioni danno la giustificazione generale della regola

“divisione = moltiplicazione per il reciproco” anche nell’ambito dei numeri assoluti!

COME SI INDICA IL RECIPROCO DI UN NUMERO (RELATIVO O ANCHE ASSOLUTO)

Consideriamo il numero  . Se faccio l'operazione  , che risultato ottengo? Ottengo  .

Ora,   è il reciproco di  . Si capisce immediatamente che questa osservazione si può generalizzare:

dato un numero relativo , il risultato dell'operazione  è il reciproco di . D’altronde (scusa l’insistenza)

per il fatto che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione, la scrittura , che equivale ad ,

indica quel numero il quale moltiplicato per  dà 1; ma questo è proprio, per definizione, il reciproco di .

Perciò, in Matematica, se si deve indicare il RECIPROCO di un numero , si utilizza il simbolo .

6.   POTENZE DI NUMERI RELATIVI

Quando eleviamo a potenza un numero relativo,

l'essenziale è che teniamo presente il significato dell'elevamento a potenza, che è sempre quello usuale:

una potenza (con esponente >1) è un particolare prodotto, in cui i fattori sono tutti uguali;

precisamente, è il prodotto di tanti fattori uguali alla "base" quante sono le unità dell' "esponente".

Per quanto riguarda il segno del risultato, basterà allora utilizzare

l'osservazione sul prodotto di più fattori fatta al precedente paragrafo 4): dunque

q       una potenza CON BASE NEGATIVA avrà risultato

·      NEGATIVO SE L’ESPONENTE (che dà il numero dei fattori) E’ DISPARI

·      POSITIVO SE L’ESPONENTE (che dà il numero dei fattori) E’ PARI

q       mentre una potenza CON BASE POSITIVA equivale a un prodotto

di fattori tutti positivi e quindi AVRA’ SEMPRE RISULTATO POSITIVO,

indipendentemente dalla parità o disparità dell’esponente.

Sono sempre valide, poi, anche quando la base è un numero relativo, le definizioni 

        ;    

Sottolineiamo ancora, perché è un'osservazione banale ma davvero molto importante, che

qualsiasi numero non nullo (sia positivo che negativo),

se viene elevato ad esponente PARI, dà sempre risultato POSITIVO.

 A questo proposito, anticipiamo una riflessione che sarà in seguito molto utile.

q      Il valore dell'espressione    potrà essere positivo, negativo o nullo a seconda del valore di :

        ad esempio, se , avremo  , mentre se  avremo  ;

q      invece, l'espressione    assumerà sempre valore , per qualsiasi valore di : ad es.,

  con  , avremo  ;   con    avremo  ;

  con   avremo  ;  ecc. ecc.