EQUAZIONI E PROBLEMI

1.  ESEMPI DI PROBLEMI A UNA INCOGNITA

q      PROBLEMA SVOLTO 1

 Per prender parte alla “festa del primino” ogni maschio deve pagare un biglietto da 5 euro,

 ogni femmina un biglietto da 3 euro. Si vendono in totale 90 biglietti,

 e si osserva che, complessivamente, i maschi hanno pagato 10 euro più delle femmine.

 Quante ragazze e quanti ragazzi hanno partecipato alla festa?

RISOLUZIONE

NOTA 1

Questa, che abbiamo scritto, è una “equazione”.

Per risolvere un’equazione, prima di tutto si svolgono i calcoli, in modo da eliminare le parentesi

e portare ciascuno dei due membri sotto la forma più semplice possibile.

L’obiettivo finale sarà di ottenere, con opportuni passaggi, il valore di x:   x = …

NOTA 2

Dall’equazione                

si passa all’equazione    

con la “REGOLA DEL TRASPORTO”:

Perché mai è possibile ciò? Vediamo.

L’equazione iniziale è    

ma noi desideriamo giungere, prima o poi, all’uguaglianza   x = …

quindi, innanzitutto, vorremmo che tutti i termini contenenti x fossero a primo membro,

e tutti i termini “noti” (cioè: conosciuti, non contenenti x) a secondo membro.

Prendiamo ad esempio il termine 3x: esso sta a secondo membro, ma “non è il posto giusto per lui”.

Come toglierlo dal secondo membro?

Beh, toglierlo dal secondo membro significherebbe SOTTRARLO dal secondo membro;

d’altra parte, se in un’uguaglianza noi sottraiamo un numero da uno soltanto dei due membri,

l’uguaglianza “si rovina”, “la bilancia perde il suo equilibrio”.

Invece la bilancia resta in equilibrio se il numero che sottraiamo da uno dei due membri,

lo andiamo a sottrarre anche dall’altro!

Perciò:

Cos’abbiamo fatto? Abbiamo sottratto dai due membri uno stesso numero, il numero 3x.

La bilancia, sottraendo lo stesso peso da entrambi i piatti, resta in equilibrio.

Il termine 3x è così scomparso dal secondo membro, ma simultaneamente è apparso al primo membro,

cambiato però di segno!!!

Ora abbiamo

ma non siamo ancora soddisfatti!

Infatti c’è il termine noto 450, che “ci dà fastidio”: vorremmo che fosse a secondo membro!

Facile: sottraiamo 450 da entrambi i membri e avremo:

Quindi, il termine 450 è scomparso dal primo membro,

ma in compenso eccolo comparire a secondo membro, cambiato però di segno!

Il discorso fatto giustifica dunque la “regola del trasporto”.

Rileggiamo cosa dice questa regola:

In un’equazione, è possibile trasportare un termine

(nel senso di: un addendo di somma algebrica)

dall’altra parte del simbolo =,

CAMBIANDOLO PERO’ DI SEGNO

Allora, ricapitolando, quando siamo passati

dall’equazione    all’equazione  ,

abbiamo applicato, per due volte, la “regola del trasporto”.

NOTA 3

In questo passaggio abbiamo applicato la REGOLA che dice:

Infatti, se due numeri sono uguali, anche i rispettivi opposti saranno uguali !!!

NOTA 4

A partire da       ricaviamo    

Questo è perfettamente comprensibile:

se 8 volte un certo numero dà un certo risultato, allora quel numero sarà uguale al risultato, DIVISO 8

(la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione).

Se 8 volte il mio stipendio dà 10000 euro, quant’è il mio stipendio? Ovvio:  10000:8 = 1250 euro.

Oppure, potremmo ragionare così:

noi abbiamo      ma vorremmo avere   x = …

Insomma, quel moltiplicatore 8, a sinistra di x, ci dà fastidio! Vorremmo sbarazzarcene.

Possiamo ottenere il nostro scopo, mantenendo la bilancia in equilibrio,

se dividiamo per 8 sia il primo che il secondo membro:  . 

Di qui la REGOLA:

Ad esempio, un “moltiplicato 8” a sinistra dell’=, diventa un “fratto 8” a destra dell’=.

Questa potrebbe essere chiamata, volendo,

la “REGOLA DEL TRASPORTO PER LA MOLTIPLICAZIONE-DIVISIONE”

(mentre la precedente era, più precisamente, la “regola del trasporto per la somma algebrica”).

ESERCIZI

Risolvi queste equazioni, commentando

ogni passaggio 

e facendo la verifica  ð

1)   

2)   

So-

lu-

zio-

ni

1)         2)  

3)      4)  

5)      6)  

3)   

4)   

5)   

6)   

q      PROBLEMA SVOLTO 2

 La mamma di Andrea è di 3 anni più giovane rispetto al papà.

 La differenza fra i quadrati delle due età è 243. Quanti anni hanno i genitori di Andrea?

RISOLUZIONE

OSSERVAZIONE

Evidentemente, avrei anche potuto scegliere di porre  ;

avrei allora avuto  

e l’equazione risolvente sarebbe stata   

con la soluzione   

q      PROBLEMA SVOLTO 3

 Trovare due interi consecutivi, tali che

 la differenza fra il loro prodotto e il quadrato del più piccolo sia uguale al numero più grande.

RISOLUZIONE

q      PROBLEMA SVOLTO 4

 Pierino ha calcolato che con la sua paghetta settimanale potrebbe comprare

·        8 crostate (e in questo caso la spenderebbe tutta),

·        o in alternativa 13 gelati (e in questo caso avanzerebbe un euro).

 Trovare l’ammontare in euro della paghetta di Pierino,

 sapendo che un gelato costa 2 euro in meno rispetto a una crostata.

CONFRONTIAMO, PER QUESTO PROBLEMA, DIVERSE ALTERNATIVE DI RISOLUZIONE.

RISOLUZIONE 1

RISOLUZIONE 2

RISOLUZIONE 3

  NOTA 1

Se con la paghetta compro 13 gelati,

mi rimane 1 euro d’avanzo;

quindi, se prendo la paghetta x

e metto da parte 1 euro,

con la cifra restante, che sarà  x−1,

potrò comprare esattamente 13 gelati.

Il costo di un singolo gelato è perciò .

Potevo anche procedere mediante

l’inversione di una formuletta:

OSSERVAZIONE 1

Qui abbiamo forse faticato un po’ di più;

in effetti, la risoluzione 2)

è preferibile rispetto alla 3), perché

nella 2) l’informazione più complicata

viene utilizzata soltanto alla fine,

per impostare l’equazione risolvente,

e non prima (vedi il paragrafo 5,

Problemi a una incognita:
indicazioni generali)

ESERCIZI

(equazioni

con

denomi-

natori)

ð

1)   

2)   

3)   

4)   

Sol.: 1)   2)   3)   4)  

q      PROBLEMA SVOLTO 5

 Trovare tre numeri, sapendo che il primo è i 2/3 del secondo,

 il secondo supera di un’unità la metà del terzo,

 e la media dei tre numeri è 36.

RISOLUZIONE

OSSERVAZIONE 2

E’ conveniente porre come x

proprio il 3° numero,

perché con questa scelta è più facile

esprimere le altre quantità in gioco,

ossia i due numeri rimanenti,

per mezzo di x

(vedi il paragrafo 5,

Problemi a una incognita: indicazioni generali)

NOTA 2

Avremmo anche potuto evitare

le fastidiose linee di frazione sovrapposte:

bastava moltiplicare per 1/3

anziché dividere per 3,

bastava cioè scrivere

NOTA 3

Per mandar via la linea di frazione principale

(intendo, per mandar via il lungo “fratto 3”)

abbiamo moltiplicato per 3

sia il primo che il secondo membro