3.  IL MONDO DELLE EQUAZIONI E’ MOLTO VARIO

EQUAZIONE = “UGUAGLIANZA PROBLEMATICA”:

un’equazione è un’uguaglianza, contenente un numero sconosciuto, “incognito”

(generalmente indicato con x), che ci chiede di determinare

per quali valori di x, ammesso che esistano, l’uguaglianza stessa è verificata.

Esistono equazioni:

con una

e una sola

soluzione

impossibili,

cioè prive

di soluzioni

Noi cerchiamo dunque un numero x

che, moltiplicato per 0, dia 2;

ma NESSUN numero gode di questa proprietà,

quindi questa equazione è ,

priva di soluzioni.

In generale, ogni equazione che si possa

portare sotto la forma   

è IMPOSSIBILE

Nel nostro esempio, noi avremmo anche potuto

semplificare al secondo passaggio:

ottenendo un’uguaglianza numerica FALSA.

Se, in un’equazione, è possibile semplificare

in modo tale che l’equazione stessa si riduca

ad un’uguaglianza numerica

(=senza più la x) FALSA, allora l’equazione

è IMPOSSIBILE, cioè priva di soluzioni.

indeterminate,

cioè

con infinite

soluzioni

Noi cerchiamo dunque un numero x che,

moltiplicato per 0, dia 0; ma

QUALSIASI numero gode di questa proprietà,

quindi questa equaz. è ,

ovvero ha infinite soluzioni,

perché qualsiasi numero ne è soluzione.

In generale, ogni equazione che

si possa portare sotto la forma   

è INDETERMINATA

Nel nostro esempio, noi avremmo anche potuto

semplificare al secondo passaggio:

ottenendo un’uguaglianza numerica VERA.

Se, in un’equazione, è possibile semplificare

in modo tale che l’equazione stessa si riduca

ad un’uguaglianza numerica

(=senza più la x) VERA, allora l’equazione è

INDETERMINATA (=ha infinite soluzioni).

dotate

di un numero

finito,

ma

maggiore di 1,

di soluzioni

Legge di annullamento del prodotto

se almeno uno dei fattori è nullo

il prodotto vale 0; e viceversa:

se un prodotto è uguale a 0,

allora certamente almeno uno dei fattori è 0.

 IDENTITA’  Un’identità è una UGUAGLIANZA LETTERALE SEMPRE VERIFICATA,

                   per qualunque valore ammissibile dato alle lettere coinvolte

                    (vanno tolti, se ce ne sono, i valori che fanno perdere significato a uno o a entrambi i membri)

Esempi:

(verificata per ogni x,

  tranne che per  x = 3)

In che cosa, dunque, un’identità differisce da un’equazione indeterminata?

La differenza sta più che altro nell’atteggiamento psicologico con cui si guarda all’uguaglianza.

Se un’uguaglianza letterale è studiata allo scopo di determinare i valori delle lettere per cui è verificata,

e alla fine si trova che tali valori sono infiniti, allora si conclude che si è di fronte ad un’equaz. indeterminata.

Se un’uguaglianza viene costruita deliberatamente in modo tale da risultare

verificata per qualsiasi valore ammissibile delle lettere in gioco, allora si parlerà di “identità”.