5.  IL CONCETTO DI “EQUAZIONI EQUIVALENTI”

Riassumendo all’osso:

in un’equazione noi possiamo fare sul primo membro una determinata operazione,

purché però contemporaneamente facciamo la stessa operazione anche sul secondo membro,

e purché … attenzione, è molto importante …

PURCHE’ SI POSSA “TORNARE INDIETRO”, vale a dire:

dall’equazione così ottenuta si possa nuovamente ricavare l’equazione iniziale (e questa soltanto).

ESEMPIO

Dall’equazione

(1)   

io posso passare alla  

(2)   

essendo sicuro che la (1) e la (2) saranno equivalenti, cioè avranno le stesse soluzioni

(ogni soluzione di (1) è anche soluzione di (2), E VICEVERSA).

Infatti:

A)  a partire dall’uguaglianza

(1)   

 sottraggo  da ENTRAMBE le parti e ottengo la (2)

 ragionando così:

 se due numeri sono uguali, sottraendo da entrambi uno stesso numero si perviene ancora a numeri uguali,

 perciò, se un dato valore di x è soluzione di (1), si è certi che il medesimo valore di x sarà soluz. anche di (2);

 insomma: ogni soluzione di (1) è sicuramente anche soluzione di (2).  Dunque:  

B) E VICEVERSA,

dalla

(2)   

si può ricavare come conseguenza la (1):

Il simbolo  è quello di

“implicazione logica”:

“se … allora … ,

qualunque sia

il valore di x considerato”

se due numeri sono uguali, allora, addizionando a entrambi uno stesso numero, si perviene a numeri uguali,

perciò, se un dato valore di x è soluzione di (2), si è certi che il medesimo valore di x sarà soluz. anche di (1);

insomma: ogni soluzione di (2) è sicuramente anche soluzione di (1).  Dunque:  

CONTROESEMPIO

Se dall’equazione

io passo alla 

potrò essere sicuro che ogni soluzione di (1) è anche soluzione di (2)

(se due numeri sono uguali, allora saranno uguali anche i loro quadrati, perciò,

 se un dato valore di x è soluzione di (1), si è certi che il medesimo valore di x sarà soluzione anche di (2) );

PERO’ NON E’ DETTO che valga anche il viceversa, ossia:

NON posso essere sicuro che ogni soluzione di (2) sia anche soluz. di (1), in quanto se i quadrati di due numeri

sono uguali, allora i due numeri in gioco non è detto che siano per forza uguali: potrebbero pure essere opposti!

Questa volta, dunque, vale l’implicazione  ma NON vale l’implicazione inversa:  

per cui l’equazione (1) potrebbe non essere equivalente alla (2);

e in effetti si vede che non lo è, perché, mentre la (1) ammette come unica soluzione ,

                                                               la (2) invece ammette come soluzioni  e anche .

Due equazioni si dicono “EQUIVALENTI” se hanno le stesse soluzioni,

ossia se ogni soluzione della prima è anche soluzione della seconda, E VICEVERSA.

Le regole esposte alla pag. precedente sono “PRINCIPI DI EQUIVALENZA”, ossia

consentono di passare da un’equazione assegnata ad un’altra, certamente equivalente a quella di partenza;

il criterio generale per passare da un’equazione ad un’altra, che sia sicuramente equivalente alla prima,

è quello esposto nel riquadro in cima a questa pagina, riassumibile nello schema logico:

 è equivalente a  quando valgono ENTRAMBE le implicazioni  e  

vale a dire, quando vale la DOPPIA IMPLICAZIONE  

(l’implicazione , da sola, ci assicura soltanto che ogni soluzione di (1) sarà pure soluzione di (2),

ma non ci dice nulla riguardo al viceversa, che potrebbe anche non avvenire)