6.  I PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI

 

Ricordiamo che due equazioni si dicono “equivalenti” fra loro quando hanno le stesse soluzioni;

quando, cioè, ogni soluzione della prima è anche soluzione della seconda, E VICEVERSA.

 

Ad esempio, le due equazioni  e  sono fra loro equivalenti, perché entrambe hanno come

unica soluzione ; due equazioni che siano entrambe impossibili sono equivalenti fra loro; le due equazioni

 e  sono equivalenti, perché per entrambe l’insieme delle soluzioni è .

Invece le equazioni  e  NON sono equivalenti, in quanto l’insieme delle soluzioni della prima

è  mentre l’insieme delle soluzioni della seconda è .

 

 

1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI

 

Data un’equazione , addizionando o sottraendo ad entrambi i membri uno stesso numero,

oppure una stessa espressione contenente x, e che esiste per qualsiasi valore di x, si ottiene con certezza

un’equazione equivalente a quella iniziale.

 

Dimostriamolo.

Partiamo dall’equazione

     (1)  ,

e addizioniamo ad entrambi i membri una stessa espressione  che esiste per qualsiasi valore di x.

Vogliamo dimostrare che la nuova equazione

     (2)   

è equivalente alla (1), ossia ha le stesse soluzioni della (1).

 

Supponiamo dunque che un dato numero  sia soluzione della (1).

Allora quel numero  sarà tale che, sostituendolo al posto di x nella (1), si ottenga un’uguaglianza vera;

sarà dunque vera l’uguaglianza

     ;

quindi sarà pure vera l’uguaglianza

        (osserviamo che l’ipotesi ci garantisce l’esistenza del numero  )

perché, se un’uguaglianza è vera, ovviamente sarà vera anche qualsiasi uguaglianza ottenibile dalla prima

addizionando ad entrambi i suoi membri uno stesso numero.

Ma se è vera l’uguaglianza

       

ciò significa che il numero  è soluzione della (2).

 

Con ciò abbiamo provato che ogni soluzione della (1) è soluzione pure della (2).

 

Vediamo se vale anche il viceversa.

 

Supponiamo che un dato numero  sia soluzione della (2).

Allora quel numero  sarà tale che, sostituendolo al posto di x nella (2), si ottenga un’uguaglianza vera;

sarà dunque vera l’uguaglianza

     ;

quindi sarà pure vera l’uguaglianza

     ,

perché, se un’uguaglianza è vera, ovviamente sarà anche vera qualsiasi uguaglianza ottenibile dalla prima

sottraendo da entrambi i suoi membri uno stesso numero (  nel nostro caso).

Ma se è vera l’uguaglianza

       

ciò significa che il numero  è soluzione della (1).

 

Quanto abbiamo visto prova che ogni soluzione della (2) è soluzione pure della (1).

 

 

E allora, ricapitolando:

ogni soluzione della (1) è pure soluzione della (2); ogni soluzione della (2) è pure soluzione della (1);

… le due equazioni (1) e (2) hanno le stesse soluzioni, sono equivalenti!

 

Evidentemente i ragionamenti di cui sopra valgono anche nel caso in cui, anziché addizionare ai due membri

una stessa espressione , noi addizioniamo ad essi uno stesso numero .

 

Per quanto riguarda poi la possibilità di sottrarre (anziché addizionare) un numero o un’espressione,

la dimostrazione è del tutto analoga e la lasciamo al lettore.

 

Dal 1° Principio di Equivalenza delle Equazioni dipendono le seguenti REGOLE di cui ci siamo già occupati:

 

q     se a 1° e a 2° membro ci sono due termini (=addendi di somma algebrica) uguali, li possiamo mandar via

 

q     possiamo trasportare un termine dall’altra parte del simbolo “=”, cambiandolo però di segno

     (“REGOLA DEL TRASPORTO PER LA SOMMA ALGEBRICA”)

 

 

2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI

 

Data un’equazione , moltiplicando o dividendo entrambi i membri

per uno stesso numero diverso da 0, oppure per una stessa espressione contenente x,

a patto però che questa espressione esista per qualsiasi valore di x e non si annulli per nessun valore di x,

si ottiene certamente un’equazione equivalente a quella di partenza.

 

Partiamo dall’equazione  (1) ,  e moltiplichiamone ambo i membri per un’espressione  ,

che esista per qualsiasi valore di x:     e che non si annulli mai:  .

Vogliamo dimostrare che la nuova equazione  (2)  

è equivalente alla (1), ossia ha le stesse soluzioni della (1).

 

Supponiamo che un dato numero  sia soluzione della (1). Allora quel numero  sarà tale che, sostituendolo

al posto di x nella (1), si ottenga un’uguaglianza vera; sarà dunque vera l’uguaglianza ; quindi

sarà pure vera l’uguaglianza , perché, se un’uguaglianza è vera, ovviamente sarà

vera anche qualsiasi uguaglianza ottenibile da essa moltiplicandone entrambi i membri per uno stesso numero.

Ma se è vera l’uguaglianza , ciò significa che il numero  è soluzione della (2).

 

Con ciò abbiamo provato che ogni soluzione della (1) è soluzione pure della (2).

 

Vediamo se vale anche il viceversa. Supponiamo che un dato numero  sia soluzione della (2).

Allora quel numero  sarà tale che, sostituendolo al posto di x nella (2), si ottenga un’uguaglianza vera;

sarà dunque vera l’uguaglianza ; quindi sarà pure vera l’uguaglianza ,

perché, se un’uguaglianza è vera, ovviamente sarà anche vera qualsiasi uguaglianza ottenibile dalla prima

dividendone entrambi i membri per uno stesso numero diverso da 0 (qui interviene l’ipotesi  ).

Ma se è vera l’uguaglianza , ciò significa che il numero  è soluzione della (1).

 

Quanto abbiamo visto prova che ogni soluzione della (2) è soluzione pure della (1).

 

Allora, ricapitolando: ogni soluzione della (1) è soluzione della (2); vale anche il viceversa;

… pertanto le due equazioni (1) e (2) hanno le stesse soluzioni, sono equivalenti.

 

Evidentemente i ragionamenti di cui sopra valgono anche nel caso in cui, anziché moltiplicare i due membri

per una stessa espressione  che non si annulla mai, noi li moltiplichiamo per uno stesso numero .

 

Per quanto riguarda poi la possibilità di dividere (anziché di moltiplicare) per un numero non nullo o per

un’espressione sempre esistente e mai nulla, la dimostrazione è del tutto analoga e la lasciamo al lettore.

 

Dal 2° Principio di Equivalenza delle Equazioni dipendono le seguenti REGOLE di cui ci siamo già occupati:

 

q     se tanto il 1° che il 2° membro sono due frazioni con lo stesso denominatore,

     possiamo mandar via i due denominatori uguali

 

q     possiamo semplificare tutti i termini per uno stesso numero

 

q     possiamo cambiare di segno tutti i termini (=addendi delle due somme algebriche a 1° e a 2° membro)

 

q     “ciò che moltiplica da una parte dell’ “=”, divide dall’altra; ciò che divide da una parte, moltiplica dall’altra”

     (“REGOLA DEL TRASPORTO PER LA MOLTIPLICAZIONE /DIVISIONE”)

 

 

 

E’ importante tener presente che si può essere certi di pervenire a un’equazione equivalente a quella iniziale solo se l’espressione C(x) che entra in gioco   ♪     esiste sempre, nel caso del 1° Principio; ♫       esiste sempre e non si annulla mai, nel caso del 2° Principio. ·      Consideriamo, come controesempio, la coppia di equazioni    e  . Qui la seconda è ottenibile dalla prima addizionando una stessa espressione ad entrambi i membri; ma si osserva che l’espressione stessa non rispetta la condizione di esistere sempre, per qualsiasi x (in effetti, per via del denominatore, non esiste con  ). NON siamo quindi certi che le due equazioni siano equivalenti; potrebbero esserlo, ma anche non esserlo. E in effetti non lo sono, perché, mentre la prima ha come soluzione , la seconda è impossibile.   ·      Un altro controesempio. Le due equazioni   e   NON sono equivalenti (la prima ha come unica soluzione , la seconda ha una soluzione in più, essendo verificata sia per , che per  ). Eppure la  equazione è ottenibile dalla  tramite moltiplicazione per  …         … Però l’espressione  si può annullare, quindi non sono rispettati i requisiti del 2° Principio.   ·      Un altro controesempio. Le due equazioni  e  NON sono equivalenti (la prima ha come unica soluzione , la seconda ha una soluzione in più, essendo verificata sia per , che per  ). Eppure la  equazione è ottenibile dalla  tramite moltiplicazione per  …         … Però l’espressione  si può annullare, quindi non sono rispettati i requisiti del 2° Principio.     Terminiamo col ricordare (l’avevamo già osservato a pag. 135) che ELEVANDO AL QUADRATO i 2 membri di una equazione NON si è certi di pervenire ad un’equazione equivalente a quella iniziale; in generale, invece, l’equazione così ottenuta conserva, sì, tutte le soluzioni dell’equazione data, ma ne acquista in più delle altre “estranee” all’equazione di partenza, perciò non accettabili.