EQUAZIONI FRATTE E LETTERALI

 

 1.  EQUAZIONI FRATTE

 

Sono quelle equazioni nelle quali l'incognita compare, almeno una volta, a denominatore.

 

Risolvendo un'equazione fratta, si perviene sempre a un passaggio del tipo:

(1)        (la x fra parentesi evidenzia che si tratta di espressioni contenenti l’incognita x)

Eliminando a questo punto i due denominatori uguali, si ottiene l'equazione

(2)       

 

LE DUE EQUAZIONI (1) e (2) NON SONO PERO' NECESSARIAMENTE EQUIVALENTI

( = non hanno necessariamente le stesse soluzioni, può darsi che non abbiano le stesse soluzioni).

Infatti:

 

a)   se un certo valore di x è soluzione della (1), allora lo stesso valore di x è certamente soluz. anche della (2);

 

b)  però non vale il viceversa. Infatti, se un certo valore di x è soluzione della (2),

vuol dire che quel valore di x rende uguali le due espressioni che stanno a NUMERATORE nella (1);

ma può eccezionalmente accadere che il valore in questione vada anche ad annullare l’espressione D(x),

ossia il DENOMINATORE della (1), e in questo caso NON renderebbe i due membri della (1) uguali,

bensì li renderebbe entrambi privi di significato, quindi NON SAREBBE soluzione della (1).

 

Ricapitolando,

 

 

      

nel caso delle equazioni fratte, la soluzione che si trova alla fine è accettabile

(cioè, è soluzione anche dell'equazione di partenza)

soltanto se NON annulla il denominatore eliminato D(x).

 

 

q      Esempio:

 

        

 

        L’equazione è perciò IMPOSSIBILE.

 

OCCHIO!

 

 

 

“ CONDIZIONI DI ACCETTABILITA’ ”

 

(leggi l’osservazione

qui a destra)

 

 

Queste annotazioni,

che si scrivono nel momento

 in cui si mandano via

i due denominatori uguali,

significano:

 

se alla fine dovessimo

 trovare come soluzione

 x = 0,

oppure  x = −1/2,

oppure  x = 1/2, 

si tratterebbe di una

"falsa soluzione",

o, come si suol dire, di una

"soluzione non accettabile",

quindi da scartare.

 

q      Un altro esempio:

 

 

 

Come avrai notato, di fronte alle condizioni contenenti il simbolo  (“diverso da”) ci si comporta esattamente

come di fronte alle equazioni: si isola la lettera con gli stessi passaggi, semplicemente scrivendo “  ” anziché “=”.

 

Qualche altro caso:

 

 

 

 

Un quadrato è uguale a 0 quando è uguale a 0 la sua base,

è diverso da 0 quando è diversa da 0 la sua base

 

 

 

 

Schematicamente:   OSSIA   

          

 

 

 

Le “condizioni” vanno poste ogniqualvolta un denominatore cessa di essere tale, per effetto:

 

a)    dell’eliminazione dei due denominatori uguali

b)    … ma anche di un “capovolgimento”! Esempio:

          

c)    … ma anche di una semplificazione! Esempio:

         

d)    … ma anche del procedimento “veloce” col quale si può eliminare il denominatore

      pure senza fare i due denominatori comuni uguali, ma invece moltiplicando ambo i membri

      dell’equazione per il denominatore stesso! Prendiamo ad es. l’equazione ;

       

 

 

ESERCIZI 1)   2)   3)   4)  ð

5)  ð   6)     7)     8)  

9)     10)     11)     12)  

13)  ð   14)    15)  

16)  ð 17)  18)  

19)  ð     20)  

21)      22)       23)  

24)      25)  

SOLUZIONI

 

1)     2)     3)     4)     5)     6)  

7)     8)     9)     10)     11)     12)     13)  

14)    15)   16)    17)    18)  

19)   20)   21) Si trova una soluzione accettabile. Fai la verifica, sostituendo.

22) E’ INDET.: ammette come soluz. QUALUNQUE numero reale, TRANNE  0, 1, 2.   

23)     24)     25)