3.  “DISCUSSIONE” DELLE EQUAZIONI LETTERALI

 Si dice “DISCUSSIONE” di un’equazione letterale, la RICERCA di quei PARTICOLARI

 VALORI DEL PARAMETRO (o dei parametri) PER CUI L’EQUAZIONE RISULTA

·        IMPOSSIBILE ( = priva di soluzioni)

·        oppure INDETERMINATA ( = dotata di infinite soluzioni).

Il riconoscimento di tali valori “notevoli” avviene all’atto del passaggio finale,

ossia quando, per isolare x, occorre dividere ambo i membri per il coefficiente di x; ed eventualmente

nel caso (raro) in cui l’equazione sia semplificabile per un’espressione contenente il parametro.

 Di fronte ad un’equazione letterale, dobbiamo innanzitutto tenere conto di un’idea fondamentale:

♪      quando noi pensiamo che il parametro indica UN NUMERO FISSATO,

         da questo punto di vista abbiamo UNA EQUAZIONE

♫       quando pensiamo che il valore del parametro può essere FISSATO AD ARBITRIO,

         da quest’altro punto di vista abbiamo UNA FAMIGLIA DI INFINITE EQUAZIONI:

         ad ogni valore che il parametro può assumere corrisponde una delle equazioni della “famiglia”.

         Ora, la “discussione” consiste nell’andare a cercare gli eventuali “elementi degeneri”

         di questa famiglia, ossia quelle particolari equazioni della famiglia (se ce ne sono)

         che risultano, eccezionalmente, impossibili o indeterminate.

 Vediamo una piccola rassegna di ESEMPI.

1)     

Trasportiamo i termini contenenti x a 1° membro e i termini noti a 2° membro:

Raccogliamo x:

Ora l’obiettivo è di isolare x;

x è moltiplicata per il suo coefficiente ,

per cui occorrerà dividere entrambi i membri per tale coefficiente.

MA UNA DIVISIONE E’ EFFETTUABILE SOLTANTO SE

IL NUMERO PER CUI SI INTENDE DIVIDERE E’ DIVERSO DA ZERO !

Quindi dobbiamo DISTINGUERE DUE CASI !!!

·       Facciamo una verifica: l’equazione iniziale , cosa diventa nel caso particolare ?

                                             Diventa      ossia   .

·       Vediamo la verifica per un qualunque caso “normale”, ad esempio il caso .  Si ha

  …  e   è proprio il valore assunto dalla frazione  quando .

2)        

3)        

4)        

5)        

6)        

7)       

 Si osserva a questo punto che l’equazione è semplificabile per a !

 Ora, SEMPLIFICARE equivale a DIVIDERE, e, di nuovo,

UNA DIVISIONE E’ EFFETTUABILE SOLTANTO SE

IL NUMERO PER CUI SI INTENDE DIVIDERE E’ DIVERSO DA ZERO!

 Quindi dovremo DISTINGUERE DUE CASI:

Proseguiamo ora, ponendoci nel caso , con l’equazione semplificata:

       IN DEFINITIVA,