SCOMPOSIZIONE IN FATTORI (=FATTORIZZAZIONE) DI UN POLINOMIO

 Scomporre in fattori

 ( = fattorizzare)

 un polinomio

 significa trasformarlo, se possibile:

a)   nel prodotto di due polinomi,

b)   oppure nel prodotto

  di un monomio per un polinomio,

c)   oppure ancora nella

  potenza di un polinomio.

Studieremo in questo capitolo

le principali tecniche

di fattorizzazione,

a cominciare dalle più semplici.

Dal mirabile “Teorema Fondamentale dell’Algebra”

si trae fra l’altro, come conseguenza, che

QUALSIASI polinomio a una sola variabile ammette SEMPRE

una scomposizione in fattori di 1° o di 2° grado.

D’altra parte, è stato pure dimostrato che non esiste

nessun algoritmo ð di carattere generale capace di fattorizzare

un polinomio arbitrario, nemmeno se ci si limita ad una sola lettera,

per cui poi, nella pratica, la fattorizzazione viene effettuata

solo su polinomi particolarmente “docili”.

Negli esercizi di base per l’apprendimento, vengono assegnati

di solito polinomi a coeff. interi, intendendo che la scomposizione

venga realizzata utilizzando esclusivamente coefficienti interi

(se poi nel polinomio di partenza compaiono coefficienti frazionari,

ammetteremo che possano entrare coefficienti frazionari

pure nella scomposizione; escluderemo comunque,

almeno in questa prima fase, l’impiego di coefficienti irrazionali).

In

My

Humble

Opinion

Se sei un insegnante e stai utilizzando questo testo coi tuoi allievi, mi permetto di invitarti a …

non dedicare TROPPO tempo alla fattorizzazione.

E’ vero che questo argomento contribuisce a sviluppare la “sensibilità algebrica” dello studente;

d’altra parte, si tratta di esercizi abbastanza “meccanici” e in una certa misura artificiosi,

ed è forse allora preferibile ridurne un poco il “peso”, dando più spazio ad altre attività

atte a valorizzare il ragionamento, le capacità di analisi e di problem solving, l’immaginazione.

1.  RICONOSCIMENTO DI PRODOTTI NOTEVOLI

 Se il polinomio che si vuole fattorizzare è il risultato dello svolgimento di un prodotto notevole,

 la scomposizione consisterà semplicemente nel risalire al prodotto notevole di partenza.

a)  .   Riconosciamo facilmente che si tratta del quadrato di un binomio. Dunque:

                        oppure, in alternativa,    

b)   

Dal fatto che ci siano 3 termini, due dei quali

(il 1° e il 3°) sono quadrati di monomi,

si è portati a pensare che si abbia anche qui il

quadrato di un binomio. Proviamo a scrivere allora

ma ci converrà controllare attentamente,

svolgendo il prodotto notevole,

se si ottiene davvero il polinomio di partenza.

In effetti, vediamo che è proprio così.

Dunque la scomposizione da noi ipotizzata è OK.

Osserviamo che anche in questo caso

ci sarebbe stata un’altra possibilità: .

Fra le due alternative, di norma si sceglie

la più semplice ed elegante, ossia la prima.

SUGGERIMENTO DA AMICO!

Dopo che hai

effettuato

una scomposizione,

il modo

più sicuro

ed efficace

per verificare

se è corretta

consiste nel

RIFARE IL CALCOLO A RITROSO,

allo scopo di controllare se effettivamente,

rimoltiplicando, o svolgendo la potenza,

si riottiene il polinomio iniziale.

CALDAMENTE RACCOMANDATO,

specie a chi è  pardòn  “alle prime armi”.

Utile anche per capire bene i meccanismi

algebrici e mentali della fattorizzazione!

c)   

Qui abbiamo 6 termini, di cui tre (  ) son quadrati di monomi. Potrebbe perciò trattarsi del quadrato

di un trinomio; se così fosse, i termini sarebbero, a parte i segni che per ora lasciamo in sospeso, .

Prepariamoci dunque lo schema    dopodiché decideremo i segni in modo che,

svolgendo il quadrato, ci venga restituito (almeno, speriamo!) il polinomio di partenza.

Ipotizziamo che sia :   

e, svolgendo il prodotto notevole, vediamo che in effetti si riottiene esattamente il polinomio dato.

Dunque la scomposizione è confermata.  Anche, in alternativa:   

Ogniqualvolta la scomposizione porta ad un quadrato, c’è sempre una seconda “soluzione”,

nella quale tutti i termini del polinomio che è base del quadrato vengono cambiati di segno.

In effetti, due numeri opposti hanno sempre lo stesso quadrato!

Ad esempio, il numero  è il quadrato di , ma è anche il quadrato di

Una differenza di quadrati

si scompone facendo

la somma delle basi

moltiplicato la loro differenza:

FORMULA

IMPORTANTISSIMA!!!

e)   

f)    

g)   

h)   

Intenderemo che

ogni esercizio di scomposizione

debba essere portato a termine

completamente: dunque

dovrai sempre domandarti

se i fattori ottenuti

siano a loro volta scomponibili

e, in caso affermativo,

fattorizzare anche questi

ESERCIZI (riconoscimento di prodotti notevoli)

1)       

2)       

3)       

4)       

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

10)    

11)    

12)    

13)    

14)    

15)    

16)    

17)    

18)    

19)    

20)    

21)    

22)    

23)    

24)    

25)    

26)    

27)    

28)    

29)    

30)    

RISULTATI

1)       o anche  

2)       o anche  

3)       

4)       

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

10)    

11)    

12)    

13)    

14)    

15)    oppure  

16)    oppure  

17)    

18)    

19)    

20)    

21)    

22)    

23)    

24)    

25)    

26)    

27)    

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29)    

30)