3.  SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO PER RACCOGLIMENTI PARZIALI

Consideriamo il polinomio

Non si tratta di un prodotto notevole svolto, e non c’è alcun fattore che sia comune a tutti i termini.

Tuttavia, se prendiamo i primi due termini soltanto, vediamo che essi hanno in comune il fattore ;

raccogliendolo, si otterrebbe ;

allo stesso modo, gli ultimi due termini hanno in comune il fattore ,

e, raccogliendolo, si otterrebbe ;

quindi così facendo, in entrambe le scomposizioni parziali, comparirebbe uno stesso fattore:

il binomio !

Dunque

L’ultimo passaggio è consistito nel raccogliere, fra i due “pezzi”  e , il binomio .

In pratica, il “blocco”  è stato “trattato” come un numero unico.

Si dice che la scomposizione   è stata eseguita

“per raccoglimenti parziali”.

Per convincerci della validità del procedimento, possiamo:

·       svolgere il prodotto ottenuto  

 e constatare che, in effetti, si riottiene proprio il polinomio di partenza

·       pensare di sostituire, per un istante, il blocco  con una singola lettera: poniamo ad esempio

  e avremo   

 La scomposizione avrebbe potuto essere effettuata anche abbinando i termini in modo diverso:

 Di fronte a un esercizio di scomposizione per raccoglimenti parziali,

 è SEMPRE possibile abbinare i termini in due modi differenti.

 Non staremo ad evidenziare tutte le volte questo fatto, che, ripeto, è normale si verifichi SEMPRE.

Ecco qui di seguito altri esempi di scomposizione per raccoglimenti parziali.

Una scomposizione per raccoglimenti parziali richiede di procedere per tentativi:

si tratta di suddividere il polinomio dato in più “pezzi” tali che,

raccogliendo in ciascun “pezzo” un opportuno fattore,

si riesca a FAR COMPARIRE FRA PARENTESI SEMPRE LO STESSO POLINOMIO.

Dopo questa prima fase di raccoglimenti “parziali”, si effettuerà il raccoglimento “totale”

del polinomio che è stato fatto comparire, come fattore, in ciascun “pezzo”.

a)       

b)       

 Qui è stato necessario raccogliere, fra gli ultimi due termini, un fattore NEGATIVO (  )

c)       

d)       

Qui sopra abbiamo dovuto, fra gli ultimi due termini, raccogliere il fattore “banale” .

Di norma, in casi come questo,

si apre semplicemente una parentesi, sottintendendo il moltiplicatore 1.

Ci si accontenta cioè di raggruppare tra parentesi i termini in gioco, scrivendo soltanto

e)       

Qui abbiamo dovuto, fra gli ultimi due termini,

raccogliere il fattore .

Di norma, in casi come questo,

ci si limita a “mettere in evidenza il segno  ”

Vale a dire, si scrive il segno “  ” seguito da una parentesi

nella quale finirà il polinomio con tutti i segni cambiati.

Riflettiamo: un segno “  ” davanti

equivale sempre a “  ”

(moltiplicazione per  ).

Infatti,

un segno “  ” davanti a un numero

ne indica l’opposto, cioè indica

che quel numero va cambiato di segno;

e una moltiplicazione per  

porta esattamente allo stesso effetto.

f)        

g)       

       oppure, abbinando i termini diversamente,

h)       

ESERCIZI (scomposizione per raccoglimenti parziali)

1)       

2)       

3)       

4)       

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

10)    

11)    

12)    

13)    

14)    

15)    

16)    

17)    

18)    

19)    

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RISULTATI

1)       

2)       

3)       

4)       

5)       

6)       

7)       

8)       

9)       

10)    

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14)    

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21)    

SUGGERI-

MENTO

DA AMICO

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26)    

27)    

28)    

29)    

Il PRIMO raccoglimento,

ti conviene sempre

effettuarlo con

coefficiente POSITIVO

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33)