B)  TRINOMIO “NON SPECIALE”  

 Un trinomio di 2° grado “non speciale” è un’espressione della forma , con .

 La fattorizzazione è più laboriosa rispetto a quella del trinomio “speciale”,

 perché non basta un solo passaggio!

 Innanzitutto si cercano due numeri la cui somma algebrica sia uguale al coefficiente centrale (  )

 e il cui prodotto sia uguale al prodotto fra il primo coefficiente e l’ultimo (  ).

 Tali due numeri serviranno a spezzare il termine centrale nella somma algebrica di due termini;

 dopodiché, si procederà per raccoglimenti parziali.

 Si ha

 per cui i due numeri

 sono  e .

 Quindi

PERCHÉ MAI i due numeri si scelgono in modo che

la loro somma sia uguale al coefficiente centrale  

e il loro prodotto sia uguale ad ?

Beh, che la loro somma algebrica debba dare  è del tutto ovvio,

dato che di questi due numeri ci si vuole servire

per spezzare il termine centrale  nella somma algebrica di due termini.

Il fatto invece che il loro prodotto debba dare   è assai meno banale.

Ma riflettiamo:

noi vogliamo determinare i due numeri in modo tale che,

dopo lo spezzamento del termine centrale,

si riesca ad operare per raccoglimenti parziali;

ora, una scomposizione per raccoglimenti parziali è effettuabile

solo se c’è una certa regolarità nella successione dei coefficienti.

Ad esempio, di fronte alla situazione

NON sarebbe assolutamente possibile procedere per raccoglimenti parziali!

Invece di fronte a

raccoglimenti parziali “funziona” in quanto

3 è la quarta parte di 12 e contemporaneamente 2 è la quarta parte di 8 …

insomma, “funziona” perché i numeri   

formano, nell’ordine, una PROPORZIONE!!!   

Quindi, i due numeri  che cerchiamo dovranno essere tali

che il trinomio  si possa riscrivere come   

E INOLTRE CHE valga la proporzione  .

E una proporzione è corretta se e solo se

il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi!!!

Perciò, affinché la proporzione sussista, dovrà essere