C) VARIANTI DEL TRINOMIO “SPECIALE”

a)        (TRINOMIO BIQUADRATICO)

Esponenti raddoppiati; trinomio che è detto “BIQUADRATICO”,

per la presenza di due quadrati:  e .

Se riscriviamo nella forma

osserveremo chiaramente come “al posto di  abbiamo  ”.

Basterà allora comportarsi come se il ruolo di  venisse preso da !

E la scomposizione sarà immediata:

 Volendo, possiamo pensare

 a una sostituzione:

 poniamo

 e …

b)       

Caso analogo al precedente: basta pensare di avere    al posto di  

c)        (TRINOMIO DI 2° GRADO OMOGENEO)

Qui interviene una seconda lettera, armoniosamente disposta,

cosicché il trinomio risulta OMOGENEO

( = tutti i termini hanno lo stesso grado).

Per scomporre, basta per un istante pensare che la seconda lettera

… non ci sia! Noi troveremo i due numeri, quindi scomporremo,

e infine inseriremo la seconda lettera alla destra dei due numeri.

 Se non ci fosse b, avremmo

 Basta scrivere  

 anziché  

 e il gioco è fatto.

 Esegui la moltiplicazione

 per controllare!

d)       

Eccoci ritornati a una situazione in cui al posto di una

singola lettera abbiamo un “blocco” (in questo caso,  )

e)       

E’ un caso “misto” (trinomio biquadratico omogeneo).

Nelle situazioni più complicate di quelle “standard” ci si affida

all’intuizione … e alla verifica, eseguita rimoltiplicando.

D) VARIANTI DEL TRINOMIO “NON SPECIALE”

Sono facilissime in quanto si opera esattamente come per il trinomio non speciale standard:

 i)   ricerca dei due numeri (somma = coefficiente centrale, prodotto = prodotto fra gli altri due coeff.);

 ii)  spezzamento del termine centrale;

 iii) raccoglimenti parziali.

UN UNICO PROCEDIMENTO PER IL TRINOMIO “SPECIALE” E IL “NON SPECIALE”?

La fattorizzazione di un trinomio di 2° grado parte sempre dalla “ricerca dei due numeri”;

il criterio di ricerca è però diverso a seconda che il trinomio sia “speciale” (=con 1° coeff. unitario) o “non speciale”,

e la procedura successiva è pure diversa (scomposizione immediata per il trinomio speciale, più passaggi per l’altro).

A dire il vero, sarebbe possibile unificare i due procedimenti e dire che, in entrambi i casi, si tratta di:

i)        cercare 2 numeri che devono dare per somma il coeff. centrale e per prodotto il prodotto fra il 1° e l’ultimo coeff.

       (nel caso del trinomio speciale, tale prodotto andrà a coincidere con l’ultimo coefficiente);

ii)   utilizzarli per spezzare il termine centrale nella somma algebrica di due termini;

iii)  procedere per raccoglimenti parziali.

Ad esempio, il trinomio speciale , dopo aver trovato i due numeri, ossia 4 e 12, potrebbe

essere scomposto facendo  .

Si capisce però che tale procedimento, per il trinomio speciale, sarebbe più lungo:

e data la frequenza con cui capita, in situazioni matematiche di ogni tipo, di dover scomporre un trinomio speciale,

vale decisamente la pena, per il trinomio speciale, di abituarsi a scomporlo in un solo passaggio.