5.  SCOMPOSIZIONE DI UNA DIFFERENZA DI QUADRATI NON BANALE

Sono piuttosto frequenti, e importanti nella pratica del calcolo,

situazioni nelle quali occorre fattorizzare una differenza di quadrati “non banale”.

Dicendo “non banale” mi riferisco al fatto che le due espressioni elevate al quadrato

non sono entrambe dei semplici monomi, ma almeno una di esse è un polinomio.

Gli esempi che seguono illustrano come procedere in questi casi.

NOTA 1

Il trinomio  non è scomponibile

per tentativi, ma sarebbe scomponibile

conoscendo l’apposita formula di scomposizione,

che porterebbe a ottenere

 NOTA 2 - Per vedere se un trinomio di 2° grado assegnato  

                  è fattorizzabile, basta calcolare la quantità  

                  (detta “il discriminante” o “il delta” del trinomio).

q     Se   è un quadrato perfetto,

il trinomio è fattorizzabile per tentativi elementari

q     Se , ma  non è un quadrato perfetto, il trinomio

                                 è fattorizzabile, ma non per tentativi elementari

q     Se , il trinomio non è fattorizzabile

                                 (a meno di ricorrere ai cosiddetti “numeri complessi”)

q     Se , il trinomio è uguale al quadrato di un binomio,

                                eventualmente moltiplicato per una costante.

 IL “METODO DEL COMPLETAMENTO DEL QUADRATO”

 E’ un metodo che dobbiamo conoscere perché viene utilizzato, in matematica, in diversi ambiti rilevanti

 (ad es., vedremo che interviene nella costruzione della formula risolutiva delle equazioni di 2° grado)

Gli ultimi due esempi mostrano come il metodo del completamento del quadrato possa consentire

(non sempre, ma almeno in determinati casi)

di fattorizzare un trinomio biquadratico, “resistente” alla scomposizione con altri metodi.

ESERCIZI (scomposizione di una differenza di quadrati non banale)

1)        

2)       

3)       

4)       

5)        

6)       

7)       

8)        

9)       

10)    

11)     

12)    

13)    

14)     

15)    

16)    

17)     

18)    

19)     

20)    

21)    

22)     

23)    

24)    

25)     

26)    

27)    

Scomporre col metodo del COMPLETAMENTO DEL QUADRATO:

28)    in due modi:  

A.  completamento del quadrato 

B.  “trinomio speciale”

29)   

30)   

31)    in due modi: 

                               A.  completamento del quadrato 

  B.  “trinomio non speciale” (variante)

32)   

33)   

34)   

35)   

36)    addirittura in TRE modi!!!  ð 

37)   

  Da http://betterlesson.com

     Homework

   Complete the square

   for each expression.

   Write the resulting expression

   as a binomial squared.

RISULTATI

 1)     2)    3)    4)  

 5)        6)         7)  

 8)            9)         10)  

11)           12)        13)  

14)       15)       16)  

17)       18)      19)  

20)       21)      22)  

23)             24)  

25)          26)  

27)  

28)         29)         30)         31)  

32)      33)  

34)      35)     36)  

37)