8.  DIVISIBILITA’; FORMULE RELATIVE

      A UNA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE POTENZE DI UGUAL GRADO

 

 

 

Il numero 44 NON E’ divisibile per 7. Infatti 44 diviso 7 fa 6 COL RESTO DI 2.

Invece 91 E’ divisibile per 7. Infatti 91 diviso 7 fa 13 CON RESTO 0.

 

Analogamente, dati due polinomi nella stessa variabile A(x) e B(x),

si dice che A(x) è divisibile per B(x) se e solo se la divisione A(x):B(x) ha come resto 0.

 

Insomma, l’aggettivo “divisibile”, in matematica, significa sempre “divisibile con resto 0”.

 

 

Supponiamo ora che il polinomio divisore sia un binomio della forma ;

in questa situazione il “Teorema del Resto”, affermando che

il resto di una divisione della forma  è uguale a , ci fornisce un vero e proprio

“Criterio di divisibilità”:

il polinomio  è divisibile per il binomio  se e solo se .

 

 

Osserviamo che la “divisibilità” porta con sé la “possibilità di fattorizzazione”:

 

·         poiché 91 è divisibile per 7, si può scrivere  

·         e se un polinomio P(x) è divisibile per , allora si potrà fattorizzare in .

Ciò premesso, domandiamoci:

 

 

una differenza o una somma di due potenze di ugual grado

 

q       è o non è divisibile per la differenza delle basi?

q       è o non è divisibile per la somma delle basi?

 

 

Insomma:

i)                       è o non è divisibile per  ?

ii)                      è o non è divisibile per  ?

iii)                    è o non è divisibile per  ?

iv)                    è o non è divisibile per  ?

 

 

Vediamo.

 

 

 

 i)     

 

        Per rispondere, applicheremo il  “Criterio di divisibilità”,

        quindi penseremo il polinomio  come dipendente dalla variabile ,

        e andremo a calcolare , per verificare se è o non è uguale a zero.

      

       

 

Bene, abbiamo allora stabilito che

      

 

NOTA: il polinomio P, ribadiamolo, è pensato

nella variabile a: .

Il simbolo P(b) indica dunque

in questo contesto

il numero che si ottiene sostituendo

al posto della variabile (che è a),

il numero b.

         Ciò assicura che deve esistere una formula del tipo  

         Cosa metteremo al posto dei puntini?

         Ci metteremo il quoziente della divisione , da determinarsi con la regola di Ruffini.

 

            

 

Quindi:    

 

 ii)    

 

                    

                    

           

 

 

 

 

 

 

 

 iii)   

       

          

          .

 

        Nel caso di n PARI, esisterà dunque una formula del tipo  dove al posto dei  

        andrà messo il quoziente della divisione , determinabile con la regola di Ruffini.

 

         

         Quindi:  

 

 iv)   

       

          

           

 

        Nel caso di n DISPARI, esisterà dunque una formula  dove al posto dei puntini

        andrà messo il quoziente della divisione , determinabile con la regola di Ruffini.

 

         

          Quindi:  

 

ESERCIZI (scomposizione col metodo di Ruffini)

           

 1)      2)      3)      4)  

 5)     6)     7)     8)  

 9)      10)      11)      12)  

13)      14)      15)      16)  

17)      18)       19)  

 

RISULTATI

 

 1)      2)      3)      4)  

 5)      6)      7)      8)  

 9)     10)     11)     12)  

13)      14)      15)      16)  

17)      18)      19)