7.  FRAZIONI ALGEBRICHE: LE CONDIZIONI DI ESISTENZA

 

Per non appesantire troppo l’argomento, abbiamo posticipato fino a questo punto una questione

che comunque va trattata.

 

Ben sappiamo che in una frazione il denominatore “deve essere diverso da 0”, in quanto

la divisione per 0 è una operazione “non eseguibile”.

 

Ricordiamone brevemente il motivo.

 

La divisione, in matematica, è intesa come l’operazione inversa della moltiplicazione.

Il motivo per cui, ad esempio, si ha ,

è che il 7, se venisse moltiplicato per 4, restituirebbe il 28: .

 

Insomma, .

 

Consideriamo ora l’operazione .

     

Dovremmo trovare un numero che moltiplicato per 0 dia 5 … ma non lo troveremo mai!

Un numero siffatto non esiste, perché qualsiasi numero, moltiplicato per 0, dà sempre e soltanto 0.

Allora l’operazione  è IMPOSSIBILE, è priva di risultato; non c’è nessun numero che possa

“pretendere di esserne il risultato”.

Ovviamente, lo stesso ragionamento varrebbe se al posto del 5 considerassimo il 4, o il 37,238

oppure il .

 

 

L’operazione particolarissima  si comporta invece in modo profondamente diverso.

Essa ci chiede di trovare un numero che moltiplicato per 0 (il secondo 0) dia 0 (il primo 0).

Sennonché, questa volta, qualsiasi numero andrebbe bene, qualsiasi numero potrebbe “pretendere

di essere il risultato” di questa operazione, perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 in effetti dà 0.

Se viene da me il numero 15, lui può dirmi: “il risultato dell’operazione  sono io! Infatti,  ”.

Ma anche il numero 9 può avere questa pretesa, di andar bene come risultato dell’operazione ,

perché ; e pure i numeri  ecc. ecc. ecc. sarebbero adeguati come risultati.

Questa volta ci troviamo di fronte a … problemi di “abbondanza”.

L’operazione è INDETERMINATA, vale a dire:

non ha un risultato ben determinato, ma potrebbe averne infiniti,

dato che qualunque numero avrebbe i requisiti per esserne il risultato.

 

Ricapitolando, le due operazioni

 

♪      

♫        

 

sarebbero, rispettivamente,

♪      IMPOSSIBILE ( = nessun risultato)

♫       e INDETERMINATA ( = infiniti risultati);

per cui non si tratta di “vere” operazioni:

la comunità matematica le considera come operazioni “non eseguibili”, “illegal operations”

(“illegal” da tradurre come “illecite”).

 

 

Osserviamo, infine, che se lo 0, in una divisione, comparisse esclusivamente a dividendo,

l’operazione sarebbe normalissima e avrebbe 0 come risultato:

       (infatti  ).

Tutto ciò, insieme col fatto che una frazione  equivale sostanzialmente alla divisione ,

ci porta all’importantissimo specchietto seguente:

 

Di fronte a un’espressione contenente frazioni con lettere a denominatore, dobbiamo allora tenere presente

che la medesima non ha significato per qualsiasi valore delle lettere coinvolte,

ma solo per quei valori delle lettere che rendono tutti i suoi denominatori diversi da 0.

 

q     Facciamo un esempio. Consideriamo l’espressione .

Per quali valori della lettera a esisterà ( = sarà definita, avrà significato)?

Beh, esisterà per i valori di a tali che sia , ossia per  

 

Osserviamo che queste CONDIZIONI DI ESISTENZA, contenenti il simbolo  ( = “diverso da”),

si “trattano” in modo del tutto simile alle equazioni, semplicemente conservando sempre il simbolo

 al posto del simbolo . Ad esempio:

 

     

q     Un altro esempio. Quali sono le condizioni di esistenza (C.E.) dell’espressione ?

CONDIZIONI DI ESISTENZA (C.E.): 

 

;    

q     Ancora: quali sono le condizioni di esistenza (C.E.) dell’espressione ?

CONDIZIONI DI ESISTENZA (C.E.): 

 

 

(Di norma, quando in una condizione sono presenti due lettere, se ne isola una a scelta.  Noi, in particolare, abbiamo desunto che, affinché l’espressione abbia significato,   c deve essere diversa sia dal triplo di d, sia dall’opposto di d aumentato di 1.  Ad esempio, nel nostro caso, la coppia , nella quale c è il triplo di d,     renderebbe priva di significato l’espressione in esame).

 

q     Terminiamo questa rassegna di esempi con:  

 

      Qui, per capire “da cosa deve essere diversa x”, scomponiamo innanzitutto in fattori!

      Ogni fattore così ottenuto dovrà essere diverso da 0, affinché non si annulli nessun denominatore …

          

    

Quindi,        C.E.:

Osserviamo che il fattore costante 10 non viene in alcun modo coinvolto, non contenendo la lettera ed essendo  “per sua natura”.

 

ESERCIZI  Scrivi le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche che seguono.

 

1)     2)     3)     4)     5)    6)  

7)    8)   9)   10)   11)  

 

RISPOSTE

1)    2)    3)     4)     5)     6)     7)

8)    9)  10)  11)