1.4 - ASSIOMI SU UGUAGLIANZE, DISUGUAGLIANZE, SOMME E DIFFERENZE

q         L'uguaglianza (congruenza) fra figure geometriche gode delle seguenti tre proprietà (assiomi):

·     PROPRIETA' RIFLESSIVA 

 Ogni figura è uguale a sé stessa:     (il simbolo  significa “per ogni, per qualsiasi”)

·     PROPRIETA' SIMMETRICA 

 Se una figura  è uguale ad una figura ,

 allora anche  è uguale ad :   

·    PROPRIETA' TRANSITIVA

 Se una figura  è uguale ad una figura ,

Useremo sovente la freccia    per schematizzare

“SE … ALLORA …” (oppure “… IMPLICA …”)

o in certi casi “QUINDI, DI CONSEGUENZA”

 e la figura  a sua volta è uguale ad una figura , allora  è uguale a :

   (in altre parole, due figure uguali ad una terza sono uguali fra loro).

q       La somma di segmenti gode delle proprietà commutativa e associativa. Idem per la somma di angoli.

q       Somme, e differenze, di segmenti uguali sono uguali. Vale a dire:

Questo assioma può essere anche enunciato dicendo che

se due uguaglianze fra segmenti sono entrambe vere, allora addizionando

o sottraendo membro a membro tali due uguaglianze si ottiene ancora un'uguaglianza vera:

q       Un assioma analogo al precedente vale per gli angoli; quindi:

somme (e differenze) di angoli uguali sono uguali; oppure, in altre parole:

addizionando (o sottraendo) membro a membro due ug. vere fra angoli si ottiene ancora un'uguaglianza vera.

q       Se quattro segmenti  a, b, c, d  sono tali che a < b  e  c < d, allora  a+c < b+d ;

e se quattro segmenti  a, b, c, d  sono tali che a > b  e  c > d, allora  a+c > b+d.

In altre parole, sommando membro a membro due disuguaglianze vere

(e aventi lo stesso verso, cioè: o entrambe col  < ,  o entrambe col  > )

fra segmenti, si ottiene ancora una disuguaglianza vera

(con lo stesso verso).

Osservazione: invece non è lecito SOTTRARRE membro a membro

due disuguaglianze dello stesso verso,

nel senso che la disuguaglianza che così si otterrebbe non è sempre vera:

può essere vera o falsa, a seconda dei casi.

Ad es., per la quaterna di segmenti della figura qui a fianco, sarebbe falsa.

q       Un assioma analogo al precedente vale per gli angoli.

Per i 4 segmenti a, b, c, d

sopra raffigurati, risulta

a<b,  c<d.

Bene! E’ vero ora che

a+c<b+d,

mentre la disuguaglianza

che si otterrebbe

sottraendo membro a membro, ossia  a−c<b−d,  è FALSA.

q       Addizionando, o sottraendo, uno stesso termine da entrambi i membri di una disuguaglianza vera,

si ottiene ancora una disuguaglianza vera:  ;   .  Idem col >.

q       Segmenti doppi di segmenti uguali sono uguali:  

q       Metà di segmenti uguali sono uguali:  

q       Più in generale:   

q       Assiomi analoghi ai tre precedenti valgono per gli angoli. Quindi:

angoli doppi di angoli uguali sono uguali; metà di angoli uguali sono uguali;

e in generale, moltiplicando per uno stesso numero razionale positivo entrambi i membri

di un'uguaglianza vera fra angoli, si ottiene ancora un'uguaglianza vera.

q       Per i segmenti, leggendo prima i tre simboli “sopra” (<) poi i tre “sotto” (>):   ;

più in generale, .

E assiomi analoghi valgono per gli angoli.

q       “Tricotomia”: dati due segmenti a, b, si verifica una e una sola delle tre eventualità a<b, oppure a=b, opp. a>b. 

                                Analogamente per gli angoli.

q       “Principio di sostitutività”: in una catena di uguaglianze (o di disuguaglianze),

è sempre lecito sostituire al posto di un segmento, un altro segmento che si sa

(per ipotesi, o per dimostrazione precedente) essere uguale al primo. Lo stesso vale anche per gli angoli.