2.3 - I “CRITERI DI UGUAGLIANZA”; IL TRIANGOLO ISOSCELE

TEOREMA (“1° Criterio di uguaglianza dei triangoli”)

Se due triangoli hanno rispettivamente uguali due lati e l’angolo fra essi compreso, allora sono uguali

Questo teorema afferma, in pratica, quanto segue.

Se la compagna di banco mi dice: “non sapevo cosa fare e ho ritagliato da un foglio di carta

un triangolo con un lato di 10 cm, un altro lato di 12 cm, e l’angolo compreso di 45° ”;

e la Segretaria mi dice: “sulla mia scrivania ho un fermacarte triangolare,

con un lato di 10 cm, un altro lato di 12 cm, e l’angolo compreso di 45° ”

allora io con assoluta sicurezza, senza bisogno di sapere nient’altro, posso affermare che

i due triangoli sono uguali in tutto e per tutto, cioè congruenti, cioè perfettamente sovrapponibili:

in particolare, posso esser certo che i due triangoli hanno rispettivamente uguali anche il lato rimanente

e i due angoli rimanenti, ossia quegli elementi sui quali non mi era stata data nessuna informazione.

Per capire ancor meglio, facciamo un raffronto con la situazione seguente,

che è invece profondamente diversa.

Di due triangoli, supponiamo di sapere che hanno i tre angoli rispettivamente uguali

(ad es., sia l’uno che l’altro triangolo abbiano gli angoli che misurano: 50°, 75°, 55°).

Possiamo affermare con sicurezza che sono uguali, congruenti, sovrapponibili?

No di certo!!!

L’uguaglianza rispettiva dei tre angoli garantisce l’uguaglianza della “forma”,

ma non la sovrapponibilità: infatti i due triangoli potrebbero essere

uno l’ingrandimento dell’altro, come nella figura qui a fianco riportata.

IPOTESI:    

TESI:    

DIMOSTRAZIONE

Immaginiamo di spostare, con un movimento rigido, tutto l’angolo  

(in questo modo ci porteremo dietro, in particolare, il triangolo  ), così da incastrare perfettamente

quest’angolo nell’angolo  (ciò è certamente possibile perché  per ipotesi). Realizziamo l’ “incastro” in modo che la semiretta  vada a posarsi sulla semiretta , e la  semiretta  sulla .

Nell’istante in cui l’angolo  “atterra” sull’angolo , con il punto  che si posa sul punto A,

la semiretta  che atterra sulla semiretta AB e la semiretta  che atterra sulla semiretta AC,

avremo che:

ü     il punto  andrà a sovrapporsi al punto B, in virtù dell’ipotesi ;

ü     e il punto  andrà a sovrapporsi al punto C, in virtù dell’ipotesi .

Insomma, il movimento rigido cui abbiamo sottoposto l’angolo  e perciò il triangolo , ha portato:

il punto  sul punto A; il punto  sul punto B; il punto  sul punto C; e pertanto ha fatto sovrapporre:

il segmento  al segmento ; il segmento  al segmento ; il segmento  al segmento .

Quindi il contorno del triangolo  si è sovrapposto perfettamente al contorno di ABC;

e ne consegue, com’è evidente, che si sono sovrapposte in modo da combaciare anche le rispettive parti interne.

Resta dunque provato che  è perfettamente sovrapponibile, congruente, uguale, al triangolo ABC,

C.V.D.

OSSERVAZIONE

Nell’enunciato del Primo Criterio è essenziale specificare il fatto

che l’angolo di cui si parla sia quello COMPRESO fra i due lati considerati.

Infatti, se due certi triangoli hanno rispettivamente uguali due lati ed un angolo,

ma l’angolo non è quello compreso, allora non è detto che i due triangoli siano

per forza uguali: potrebbero anche non esserlo, come mostra la figura qui a fianco.

In essa, i due triangoli PRS, RSQ hanno uguali due lati ed un angolo:

;

tuttavia, non sono affatto uguali. L’angolo non è “quello compreso”!