TEOREMA            In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono uguali

HP:

TH:

DIMOSTRAZIONE

Tracciamo la bisettrice dell’angolo al vertice  fino ad incontrare la base  in D.

Confrontiamo ora i due triangoli . Essi hanno:

ü     per HP;

ü     in comune, perciò uguale nei due triangoli  (  );

ü     per costruzione.

Pertanto i due triangoli sono uguali per il 1° criterio; ne consegue, in particolare, ,  C.V.D.

 TEOREMA - In un triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo al vertice

                                    è anche mediana e altezza relativa alla base.

    Pertanto, in un triangolo isoscele, bisettrice, mediana e altezza relative alla base coincidono.

HP:

TH:

DIMOSTRAZIONE

Come nella dimostrazione del teorema precedente, si confrontano i due triangoli  

e li si dimostra uguali per il 1° Criterio.

Ne consegue, in particolare, che  e con ciò la prima parte della tesi è dimostrata.

Ma dall’uguaglianza di  e  segue anche ; poiché ora questi ultimi due angoli

sono pure supplementari (=danno per somma un angolo piatto), sarà  ,  C.V.D.

APPROFONDIMENTO TEORICO

Abbiamo usato articoli determinativi (“la” bisettrice/mediana/altezza) dando per scontato che, in un triangolo,

di bisettrice che parte da un dato vertice ce ne sia UNA SOLA, di mediana UNA SOLA, di altezza UNA SOLA.

A voler essere del tutto rigorosi, occorrerebbe invece classificare

i tre enunciati di UNICITA’ della bisettrice, della mediana, e dell’altezza,

o dichiarandoli esplicitamente come assiomi, oppure, se possibile, dimostrandoli come teoremi.

In effetti, tali tre enunciati sono dimostrabili (i primi due, molto facilmente), quindi vanno pensati come teoremi.

q       Unicità della mediana: è legata al fatto che il punto medio di un segmento dato è unico.

Se infatti, per assurdo, un segmento assegnato  avesse due distinti punti medi ,

allora i due segmenti  dovrebbero essere uguali perché metà dello stesso segmento  

mentre non possono essere uguali perché hanno un estremo in comune e uno di essi “scappa fuori” dall’altro.

q       Unicità della bisettrice: è dimostrabile con un ragionamento analogo a quello fatto per la mediana.

q       Unicità della perpendicolare (da un punto dato, ad una retta data):

questo teorema è esposto nel prossimo capitolo, ma avrebbe potuto benissimo essere anticipato a questo livello,

perché dipende esclusivamente dal “Teorema dell’angolo esterno in forma debole”, che a sua volta richiede,

per la sua dimostrazione, esclusivamente teoremi che al livello presente sono stati già dimostrati.

Osserviamo ancora che il nostro discorso dà pure per scontata l’ESISTENZA di mediana, bisettrice e altezza.

q          L’esistenza della mediana e della bisettrice sono assicurate

dagli assiomi di divisibilità indefinita del segmento e dell’angolo,

q          mentre l’esistenza dell’altezza può essere dimostrata

( il “Teorema di esistenza della perpendicolare per un punto dato a una retta data”

 è presentato nel capitolo successivo, ma avrebbe potuto benissimo essere anticipato a questo livello).

 TEOREMA                    Se un triangolo ha due angoli uguali, allora è isoscele

      (precisamente, i due lati uguali sono quelli opposti agli angoli uguali)

OSSERVAZIONE

Si tratta del teorema inverso

di quello che diceva:

“In un triangolo isoscele,

gli angoli alla base sono uguali”.

NON SEMPRE, se vale un teorema,

vale anche l’enunciato inverso!!!

Ad es., è vero (lo dimostreremo a suo tempo) che

“se, in un quadrilatero, i lati sono tutti uguali,

 allora le diagonali sono perpendicolari”

ma sarebbe FALSO affermare che

“se, in un quadrilatero, le diagonali sono perpendicolari,

 allora i lati sono tutti uguali”

HP

TH

L’uso delle CATENE

è frequentissimo nelle dimostrazioni.

In una catena ben impostata,

ciascun “anello” dev’essere ricavato

A PARTIRE DALL’ “ANELLO”

CHE LO PRECEDE.

Il teorema che stiamo esaminando

viene sovente enunciato dagli studenti

in modo maldestro:

  “Se un triangolo ha gli angoli alla base uguali, allora è isoscele”.

Eh no, così non va … : se si parla fin dall’inizio di “angoli alla base”,

sembra che sia già noto in partenza che il triangolo è isoscele !!!

DIMOSTRAZIONE

Costruzione:

tracciamo le bisettrici  degli angoli  e , che sono uguali per HP.

I quattro angoli   che così si formano sono tutti uguali fra loro,

perché metà di angoli uguali:

Confrontiamo ora i due triangoli  .

Essi hanno:  in comune;  ;   

quindi sono uguali per il 2° Crit., e in particolare avranno  e .

Dall’ultima uguaglianza segue    perché supplementari di angoli uguali:

.

Se a questo punto confrontiamo i due triangoli  ADC  e  BEC, 

potremo affermare che sono uguali per il 2° Criterio:

hanno infatti

·         ; 

·         ;

·          

Ma dall’uguaglianza dei due triangoli  ADC  e  BEC  segue, in particolare,

, cioè la tesi.

 TEOREMI (corollari di teoremi precedenti)

·         Se un triangolo è equilatero (ha tutti e tre i lati uguali fra loro),

         allora è equiangolo (=ha tutti e tre gli angoli uguali fra loro).

·         Se un triangolo è equiangolo, allora è equilatero.

OSSERVAZIONE

I due teoremi (corollari) di cui sopra, che sono evidentemente uno l’inverso dell’altro,

potrebbero essere compendiati nell’unico enunciato:

“Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo sia equilatero, è che sia equiangolo”

oppure: “un triangolo è equilatero se e solo se è equiangolo”