TEOREMA (“3° Criterio di uguaglianza dei triangoli”)

Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre lati, allora sono uguali.

HP       

TH        

DIMOSTRAZIONE

Sottoponiamo il triangolo  

ad un movimento rigido con ribaltamento,

in modo da portare il segmento  sul segmento  

(ricordiamo che i due segmenti sono uguali per ipotesi),

con  su  A,   su  B

e  all’interno del semipiano di origine AB e non contenente C.

Indichiamo con  la posizione che va così ad occupare il vertice .

In questo modo, insomma, abbiamo costruito lo “stampo”  

del triangolo , che adesso possiamo anche pensare di riportare,

con un altro movimento rigido, al posto che occupava inizialmente.

Tracciamo quindi la congiungente .

Consideriamo il triangolo : esso è isoscele (infatti  ) e di conseguenza .

Anche il triangolo  è isoscele perché ; ne consegue .

Ma allora gli angoli ,  sono uguali perché somme di angoli uguali, come possiamo, volendo, illustrare…

♪       … tramite una catena:

Osserva che,

come in ogni catena ben impostata,

ogni “anello” è ricavato

a partire dall’ “anello” che lo precede!

♫       … oppure sommando membro a membro due uguaglianze:

Se ora confrontiamo i due triangoli ABC e , possiamo dire che sono uguali per il 1° Criterio!!! Ma allora

è pure , perché  era lo “stampo” di : ,   C.V.D. (forse …)

… E INVECE NON E’ FINITA! …

A dire il vero, in questo modo la dimostrazione NON è del tutto completata. E perché mai, dirai tu, caro lettore?

Il fatto è che in certi casi la congiungente  potrebbe non attraversare il segmento .

Allora il procedimento dimostrativo varierebbe leggermente:

… mentre nel caso particolarissimo

in cui  passa per un estremo di ,

non è più necessaria né una somma, né una differenza;

dopo aver osservato che   

si confrontano direttamente i due triangoli ABC e ABC",

che risultano uguali per il 1° Criterio.

Se la congiungente  

passa all’esterno di ,

si procede

per differenza

di angoli uguali

anziché per somma…

In lingua Inglese, i tre Criteri di uguaglianza dei triangoli hanno dei nomi davvero azzeccatissimi: