2.4 - IL TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO IN FORMA DEBOLE

Gli “ANGOLI ESTERNI” di un poligono

In un poligono qualsiasi, si dicono “angoli esterni”

gli angoli adiacenti agli angoli interni.

Quindi, in un poligono, a ciascun angolo interno corrispondono

DUE angoli esterni, uguali fra loro perché opposti al vertice (vedi figura).

TEOREMA

(“TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO in forma DEBOLE”)

In un triangolo, ciascun angolo esterno è maggiore

di ciascuno dei due angoli interni ad esso non adiacenti

DIM.

HP

 triangolo;

 angolo esterno

TH

;

A cosa è dovuto

l’aggettivo “debole”?

Al fatto che questo

teorema sarà poi seguito

da un altro, il “teorema

dell’angolo esterno

in forma forte”,

per dimostrare il quale

sono però necessari

altri teoremi intermedi

Effettuiamo le seguenti costruzioni (figura a destra): prendiamo il punto medio di , indicandolo con M;

tracciamo  e prolunghiamo questo segmento di un segmento ; tracciamo la semiretta .

Ora, la semiretta  è interna all’angolo : questo fatto è il punto chiave del ragionamento dimostrativo.

Che la semiretta  sia interna ad  è osservabile dal disegno, e l’intuizione porta facilmente a convincersi

che ciò continuerebbe a esser vero anche se il triangolo avesse una forma diversa.

Tuttavia, il fatto che  sia interna all’angolo  andrebbe, a rigore, DIMOSTRATO.

La dimostrazione utilizzerebbe due assiomi che noi per evitare appesantimenti eccessivi non abbiamo citato:

l’ “assioma dei semipiani” e un altro assioma riguardante le semirette aventi l’origine nel vertice di un angolo.

Ci limitiamo a segnalare questo fatto, senza scendere nei particolari.

Bene! Essendo la semiretta  interna all’angolo , è . Ma i due triangoli  

sono uguali per il 1° Criterio (  e  per costruzione,  perché opp. al vertice)

e ne consegue, in particolare, che .

Dunque, essendo , è pure  e la prima parte della tesi è dimostrata.

q     Per la seconda parte (  ) basterà prolungare  dalla parte di C

costruendo così il secondo dei due angoli esterni adiacenti all’angolo interno  

(che però sarà uguale ad  in quanto suo opposto al vertice),

poi prendere il punto medio N del lato , tracciare la mediana , prolungarla ecc. ecc.

COROLLARIO: In un triangolo, la somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto.

DIM.  Per dimostrare che, ad esempio, , basta tener presente che, per il

Teorema dell’Angolo Esterno, si ha  quindi ; ma allora .

Per le altre somme  e , ci si servirà ogni volta dell’angolo esterno opportuno.

COROLL.: In un triangolo, non possono esserci due angoli retti, né due ottusi, né un retto e un ottuso.

DIM.   Infatti, in ciascuno dei tre casi prospettati, la somma dei due angoli interni in questione

            uguaglierebbe o supererebbe un angolo piatto, il che è assurdo in virtù del corollario precedente.

COROLLARI:

·         In un triangolo che abbia un angolo retto, i due angoli rimanenti sono acuti (=minori di 90°).

·         In un triangolo con un angolo ottuso, i due angoli rimanenti sono acuti.

LA CLASSIFICAZIONE

DEI TRIANGOLI

IN BASE AGLI ANGOLI

Da quanto detto, si trae che un triangolo può avere esclusivamente:

        I)    un angolo ottuso e due acuti (triangolo “ottusangolo”)

II)   un angolo retto e due acuti (triangolo “rettangolo”)

III)  tre angoli acuti (triangolo “acutangolo”).

Non possono verificarsi altri casi oltre a questi.