2.5 - DISUGUAGLIANZE FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO

TEOREMA

Se un triangolo ha due lati disuguali, allora ha disuguali anche gli angoli ad essi opposti,

e precisamente: a lato maggiore sta opposto angolo maggiore.

HP

TH

GLI ESERCIZI (NON FACILI …)

SULLE DISUGUAGLIANZE

SONO ALLE PAGINE

310 E 311 

DIM.

Siccome per ipotesi è ,

se noi prendiamo, sulla semiretta AC, un segmento ,

il punto D cadrà ALL’INTERNO del segmento .

Ora:

            ,

C.V.D.

TEOREMA

Se un triangolo ha due angoli disuguali, allora ha disuguali anche i lati ad essi opposti,

e precisamente: ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore.

HP

TH

OSSERVAZIONE

 Nella figura, abbiamo adottato una simbologia

 che è molto comune, e UTILISSIMA, in Geometria:

 abbiamo indicato

·         i vertici del triangolo con ;

·         gli angoli aventi questi vertici RISPETTIVAMENTE con ;

·         i lati opposti a questi vertici RISPETTIVAMENTE con :

      a opposto ad A,  b opposto a B,  c opposto a C.

DIM.

L’ipotesi è ; vogliamo dimostrare (tesi) che è .

Per assurdo, o, se si preferisce, per esclusione:

♪        se fosse  ,  allora, per il teorema precedente, si dovrebbe avere  ,  contro l’ipotesi;

♫       se fosse  ,  allora il triangolo sarebbe isoscele e risulterebbe  ,  contro l’ipotesi.

Non potendo essere né , né , dovrà per forza essere ,

C.V.D.

COROLLARI:

·         In un triangolo rettangolo, il lato maggiore fra tutti è l’ipotenusa.

·         In un triangolo ottusangolo, il lato maggiore è quello opposto all’angolo ottuso.

TEOREMA (“DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE”)

In un triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due.

HP

 ABC triangolo

TH

Nella dimostrazione di questo teorema

emerge in modo particolarmente evidente

IL METODO “TOP-DOWN”

ossia, letteralmente,

“DALLA CIMA VERSO IL BASSO”.

Si parte dall’obiettivo da raggiungere,

e ci si domanda:

di quali obiettivi intermedi avremmo bisogno

per raggiungere questo obiettivo finale?

Poi il processo può essere eventualmente

iterato (=ripetuto),

applicandolo anche agli obiettivi intermedi.

DIM.

Dimostriamo che ;

per provare le altre due disuguaglianze si può procedere in modo analogo.

Vogliamo innanzitutto COSTRUIRE un segmento che sia uguale alla somma ,

e lo faremo prolungando , dalla parte di A, di un segmento .

Avremo appunto .

A questo punto si tratta di dimostrare che .

E a tale scopo, se riuscissimo a far vedere che nel triangolo , fra i due angoli  e ,

il primo è maggiore del secondo, saremmo a posto in virtù del teorema precedente.

Ma ben facile provare che !

Infatti  perché  è solo una parte di ;

e  perché angoli alla base di un triangolo che è isoscele per costruzione. 

La tesi è quindi dimostrata.

TEOREMA

In un triangolo, ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due.

HP     E’ dato un triangolo di lati a, b, c

          (supponiamo per comodità di aver indicato

con a il lato maggiore, con b l’intermedio, con c il minore;

insomma, supponiamo  )

TH      

DIM.

Le tre disuguaglianze della tesi seguono dalle tre disuguaglianze

la cui verità è assicurata dal teorema precedente.

Questo, infatti, ci dice che :

Prendiamo, ad esempio,  .

Se in questa disuguaglianza noi sottraiamo lo stesso segmento  da entrambi i membri, ne ricaveremo:

 ossia  , 

quindi (leggendo come gli Arabi, da destra a sinistra),  ,  che è la tesi II).

Analogamente,

la tesi I) si può dedurre a partire da    sottraendo  da entrambi i membri;

e infine la tesi III) segue dalla    sottraendo  da entrambi i membri.