2.7 - AIUTO PER IL RIPASSO, ESERCIZI (le risposte sono in fondo alla pagina … tienile coperte!)

 1) Pierino dice: “Questo triangolo ha gli angoli alla base uguali, quindi è isoscele”.

     Per qual motivo il professore sta facendo una boccaccia?

 2) Sulle 3 figure seguenti, appiccica correttamente le tre etichette SAS, ASA, SSS:

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A PARTIRE DA PAG. 306

 3) Sia il triangolo ABC che il triangolo DEF hanno: un angolo di 30°, un lato di 1 cm, un altro lato di 2 cm.

     Siamo sicuri che abbiano lo stesso perimetro?

 4) Se due segmenti, non necessariamente fra loro uguali, si incrociano in modo che l’unico loro punto comune

     sia il punto medio di entrambi, il quadrilatero che ha per vertici le estremità di questi segmenti ha i lati a due

     a due uguali. Quali teoremi permettono di dimostrare questa affermazione?

 5) GeoGebra dà la possibilità di tracciare una circonferenza scegliendone il centro e il raggio;

     il raggio, a sua volta, può essere uguale a un segmento già tracciato, perché se, alla richiesta del raggio,

     noi digitiamo la lettera minuscola che è associata ad un segmento

     già in precedenza creato, allora assegneremo alla circonferenza

     un raggio uguale proprio a quel segmento.

     Ciò premesso, disegna un triangolo, in GeoGebra, poi, servendoti di opportune circonferenze e intersezioni

     fra esse, disegnane un altro che abbia i lati rispettivamente uguali ai lati del primo. I due triangoli sono uguali

     in tutto e per tutto, come si può osservare dalla figura e come del resto si può dedurre grazie al …

 6) Nella dimostrazione, da noi data, del teorema secondo cui “un triangolo con due angoli uguali è isoscele”,

     sono stati applicati:  a) il 1° Criterio, 2 volte?  b) il 2° Criterio, 2 volte?  c) il 1° e poi il 2°?  d) il 2° e poi il 1°?

 7) In Geometria abbiamo usato il termine “adiacenti” per 3 volte, una con riferimento ai segmenti e 2 agli angoli.

     Spiega il contesto e il significato nei tre casi.

 8) E’ vero che se un angolo interno di un poligono misura 35°, l’angolo esterno corrispondente misurerà 325°?

 9) Con GeoGebra, disegna un triangolo e un angolo esterno.

     Crea come oggetti GeoGebra questo angolo esterno e uno degli angoli interni non adiacenti ad esso.

     Osserva le loro misure nella finestra Algebra per constatare che, comunque si deformi in triangolo,

     l’angolo esterno si mantiene sempre maggiore dell’interno ad esso non adiacente.

10) Può un angolo esterno in un triangolo essere uguale a un angolo interno?

11) Perché si dice che il Teorema dell’Angolo Esterno da noi visto è un teorema “in forma debole”?

12) Quale teorema garantisce che non possa esistere un triangolo coi lati di 4, 7 e 12 centimetri?

13) Spiega perché il cosiddetto “Teorema di Steiner-Lehmus”, che afferma: “Se in un triangolo le bisettrici

      relative a due dei lati sono uguali, allora il triangolo è isoscele”, si rivela difficilissimo da dimostrare

      (ci si riesce con fatica scomodando la trigonometria, o facendo ragionamenti per assurdo assai complicati …)

RISPOSTE

1) Per via dell’esposizione maldestra. Parlando fin dall’inizio di “angoli alla base”, locuzione che ha senso solo se riferita ai triangoli isosceli, sembra che si sappia già da subito che il triangolo è isoscele. Pierino avrebbe dovuto dire, piuttosto: “Questo triangolo ha due angoli uguali, quindi è isoscele”  2) SSS (Side-Side-Side Theorem, 3° Criterio), SAS (Side-Angle-Side Theorem, 1° Criterio), ASA (Angle-Side-Angle Th., 2° Criterio)  3) No. I due triangoli non sono necessariamente uguali: potrebbero esserlo, ma anche non esserlo. Non si sa infatti se l’angolo di 30° è, in entrambi i triangoli, quello compreso fra i due lati di 1 cm e 2 cm, o no. In quest’ultimo caso, non sarebbe applicabile il 1° Criterio   4) Il teorema che dice che due angoli opposti al vertice sono fra loro uguali; il 1° Criterio   5) … 3° Criterio   6) b   7) a) Due segmenti si dicono adiacenti quando hanno un estremo in comune e stanno uno sul prolungamento dell’altro;  b) due angoli si dicono adiacenti quando hanno un lato in comune e i due lati non sovrapposti stanno uno sul prolungamento dell’altro;  c) in un poligono, si dicono “angoli adiacenti a un lato” i due angoli interni che hanno per vertici gli estremi di quel lato   8) No: in un poligono a ciascun angolo interno corrispondono 2 angoli esterni, che sono adiacenti, quindi supplementari, rispetto all’angolo in questione. Perciò la risposta esatta è “ 145° ” (per ciascun angolo esterno).  10) Sì, ma l’angolo interno dev’essere quello adiacente: saranno entrambi di 90°   11) Perché verrà poi rimpiazzato da un teorema più “dettagliato”, più  “forte”, che ingloberà quello “vecchio”  12) Il teorema della “disuguaglianza triangolare”  13) Il guaio è che nei confronti di triangoli, non si riesce ad applicare nessuno dei tre Criteri! …