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Cap. 3: PERPENDICOLARI E PARALLELE
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3.1 - RETTE PERPENDICOLARI |
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IL PROBLEMA DELL’ ESISTENZA DELLA PERPENDICOLARE
Dati un punto P e una retta r, esiste sempre una retta che passi per P e sia perpendicolare a r ?
L’intuizione ci dice: “Senz’altro, sì”. L’ “esistenza della perpendicolare per un punto dato a una retta data” potrebbe quindi essere assunta come nuovo assioma. Ma ciò non è necessario: infatti tale esistenza è dimostrabile come teorema. Vediamo in che modo.
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TEOREMA (Esistenza della Perpendicolare per un punto dato a una retta data) Dati un punto P e una retta r, esiste sempre una retta che passi per P e sia perpendicolare a r. |
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q
Primo caso:
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q
Secondo caso:
Se il punto P appartiene alla retta r, l’esistenza della perpendicolare a r per P è assicurata dall’assioma di divisibilità indefinita degli angoli, secondo cui un angolo si può suddividere in un numero a piacere n di parti uguali. Infatti, in particolare, questo assioma assicura (n=2) l’esistenza della bisettrice di un angolo dato qualsiasi. Ora, la bisettrice dell’angolo piatto che in figura abbiamo segnato con l’archetto, forma due angoli retti con r, quindi è perpendicolare ad r. |
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Prendiamo sulla r un qualsiasi punto A, e congiungiamo P con A. Se fortuitamente accade che la retta PA risulti perpendicolare a r, siamo già a posto; in caso contrario, costruiamo nel semipiano di origine r, e non contenente P, una semiretta s che formi un angolo (semiretta sicuramente esistente per l’assioma del trasporto dell’angolo) e
su di essa prendiamo un segmento (assioma del trasporto di un segmento). |
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Se a questo punto tracciamo la retta PQ, essa sarà perpendicolare a r !!! Infatti il triangolo APQ è isoscele per costruzione, e il segmento che per costruzione fa da bisettrice per
l’angolo al vertice è, per un teorema noto, anche altezza, quindi è perpendicolare a PQ.
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IL PROBLEMA DELL’ UNICITA’ DELLA PERPENDICOLARE
Dati un punto P e una retta r, di rette passanti per P e perpendicolari a r ce n’è una sola o ce n’è più d’una ?
L’intuizione ci dice: “Senz’altro, una sola”. L’ “unicità della perpendicolare per un punto dato a una retta data” potrebbe quindi essere assunta come nuovo assioma. Ma ciò non è necessario: infatti tale unicità è dimostrabile come teorema. Vediamo in che modo.
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TEOREMA (Unicità della Perpendicolare per un punto dato a una retta data) Dati un punto P e una retta r, la perpendicolare per P a r è unica. |
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q
Primo caso:
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q
Secondo caso: |
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Se, per assurdo, di perpendicolari da P a r ve ne fosse più d’una, allora il triangolo PHK individuato da due di queste perpendicolari e dalla retta r avrebbe due angoli retti … ma un teorema già dimostrato (par. 2.4) afferma che in un triangolo più di un angolo retto non può esserci.
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Se, per assurdo, di perpendicolari per P a r ve ne fosse più d’una, allora, dette PA, PB due di tali perpendicolari, l’angolo
piatto due distinte bisettrici, mentre sappiamo (par. 2.3) che la bisettrice di un angolo è unica.
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